Операции на графах

Вычислив элементы матрицы согласно (1), получаем:

Нетрудно убедиться, что полученным матрицам смежности вершин соответствуют графы G1(G2) и G2(G1), представленные на рис. 3.

Декартово произведение графов. Пусть G1(X,E1) и G2(Y,E2) — два графа. Декартовым произведением G1(X,E1)´G2(Y,E2) графов G1(X,E1) и G2(X,E2) называется граф с множеством вершин X´Y, в котором дуга (ребро), идущая из вершины (xiyj) в (xkyl), существует тогда и только тогда когда существует дуга (xixk), принадлежащая множеству дуг E1 и j = l или когда существует дуга (yj,yl), принадлежащая множеству E2 и i = k.

Выполнение операции декартова произведения рассмотрим на примере графов, изображенных на рис. 4. Множество вершин Z результирующего графа определяется как декартово произведение множеств X´Y. Множество Z содержит следующие элементы: z1=(x1y1), z2=(x1y2), z3=(x1y3), z4=(x2y1), z5=(x2y2), z6=(x2y3).

Определим множество дуг результирующего графа. Для этого выделим группы вершин множества Z, компоненты которых совпадают. В рассматриваемом примере пять таких групп: две группы с совпадающими компонентами из множества X, и три группы, имеющие совпадающие компоненты из Y. Рассмотрим группу вершин результирующего графа, которые имеют общую компоненту x1: z1=(x1y1), z2=(x1y1), z3=(x1y3). Согласно определению операции декартова произведения графов, множество дуг между этими вершинами определяется связями между вершинами множества Y. Таким образом, дуга (y1,y1) в графе G2 определяет наличие дуги (z1,z1) в результирующем графе. Для удобства рассмотрения всех дуг результирующего графа составим таблицу, в первом столбце которой перечисляются вершины с совпадающими компонентами, во втором – дуги между несовпадающими компонентами, а в третьем и четвертом – дуги в результирующем графе.

Граф G1´ G2 изображен на рис. 4.

Операция декартова произведения обладает следующими свойствами.

1. G1´G2 = G2´G1

2. G1´(G2´G3) = (G1´G2)´G3.

Операция декартова произведения графов может быть выполнена в матричной форме.

Пусть G1(X,E1) и G2(Y,E2) – два графа, имеющие nx и ny вершин соответственно. Результирующий граф G1´G2 имеет nx×ny вершин, а его матрица смежности вершин - квадратная матрица размером (nx×ny)´ (nx ×ny). Обозначим через aab = a(ij)(kl) элемент матрицы смежности вершин, указывающий на наличие дуги (ребра), соединяющей вершину za=(xiyj) c zb=(xkyl). Согласно определению операции этот элемент может быть вычислен при помощи матриц смежности вершин исходных графов следующим образом:

aab = a(ij)(kl) = Kik×a2,jl Ú Kjl×a1,ik, (2)

где a1,ik, a2,jl – элементы матрицы смежности вершин графов G1 и G2 соответственно;

Kik – символ Кронекера, равный 1, если i=k, и нулю, если i¹k .

 Скачать реферат