Операторные уравнения
. (3)
Отсюда видно, что в круге (2) решение является аналитической функцией параметра и,следовательно, может быть найдено в виде
(4)
На этой идее основывается метод малого параметра д
ля уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и, согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях получившегося тождества:
.
Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения x0, x1, …:
Аx0=y, Аx1=Сx0, …, Аxк=Сxк-1, …
Так как А непрерывно обратим, то отсюда последовательно находим
x0=А–1y, x1= А–1(СА–1)y, …, xк= А–1(СА–1)кy, …
Следовательно,
. (5)
Мы получили решение (3), разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд и ограничиться приближенным решением
то можно оценить ошибку. Вычитая из ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим
.
§7. Метод малого параметра в общем случае
Пусть дано уравнение
А()х = у(
). (1)
Здесь А()ÎL(X,Y) задана при каждом
,
, или, как говорят, А(
) – оператор-функция. Пусть А(
) аналитична при
=0, а оператор А(0) непрерывно обратим, у(
) – заданная аналитическая функция
при
=0 со значениями в Y. Неизвестное x разыскивается в X.
Аналитичность А() и у(
) в точке 0 означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами сходимости, которые равны
и
соответственно:
,
. (2)
Из аналитичности А() следует непрерывность А(
) при
=0. следовательно, найдется число r > 0 такое, что в круге
.
Отсюда вытекает, что в круге оператор-функцияА(
) непрерывно обратима и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение
,
при этом x() аналитична в точке
=0 и радиус сходимости соответствующего степенного ряда равен min(
, r). Для фактического построения x(
) удобно воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать x(
) в виде
. (3)
Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для неопределенных коэффициентов x0, x1, x2, …:
А0x0 = y0, А0x1+А1x0 = y1,
А0x2 + А1x1 + А2x0 = y2, (4)
. . . . . . . . . . .
, …
Здесь А0 = А(0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим
,
, … (5)
Возникающие здесь формулы довольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любой степенью точности. Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, когда обращение оператора А(0) – задача более простая, чем задача обращения оператора А().
§8. Метод продолжения по параметру
8.1. Формулировка основной теоремы
В качестве еще одного приложения теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов метода продолжения по параметру. Пусть и А непрерывно обратим. Если
, то, согласно теореме 9 §3, В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенных условиях можно доказать, что В будет непрерывно обратим и в том случае, когда он очень далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непрерывную на отрезке [0, 1] оператор - функцию
такую, что А(0)=А, А(1)=В. Иначе говоря, в L(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точки А и В. Будем предполагать, что для оператор – функции
выполняется следующее условие:
1. Существует постоянная такая, что при всех
и при любых
справедливо неравенство
. (1)
Ниже будет доказана следующая теорема.
Теорема 14. Пусть А(λ) – непрерывная на [0, 1] оператор-функция (при каждом ), причем оператор А(0) непрерывно обратим. Если для А(λ)выполняется условие I, то А(I)непрерывно обратим, причем
.
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах