Базисные сплайны

где — некоторые постоянные коэффициенты. Эту запись сплайна называют его представлением через В-сплайны.

Из теоремы 1.2 вытекает

Следствие 1.1. Всякий сплайн, принадлежащий width=42 height=19 id="Рисунок 155" src="images/referats/3152/image185.jpg" alt="Опис : image130">, с конечным носителем минимальной длины с точностью до постоянного множителя совпадает с В-сплайном.

Доказательство. Минимальным конечным носителем сплайна является один из интервалов Согласно (9)

Так как для то, выбирая последовательно , получаем, что . Аналогично, для Следовательно,

Замечание. Представление сплайнов через B-сплайпы в виде (9) имеет смысл для конечного отрезка [а, b]. Чтобы получить его для всей вещественней оси, нужно положить и . Тогда точки оказываются узлами кратности и при построении B-сплайнов с номерами и нужно учитывать правило для разделенных разностей с кратными узлами. Мы не описываем подробно эти конструкции, ибо все практические задачи, где используются B-сплайны, рассматриваются на конечном отрезке.

§3. Нормализованные базисные сплайны и представление ими многочленов

При практических вычислениях удобнее использовать не сами B-сплайны, а функции, получающиеся из них умножением на постоянные множители:

(1)

Эти функции называются нормализованными В-сплайнами. Нормирующий множитель равен среднему арифметическому шагов на отрезке, где B-сплайн отличен от нуля.

Тождество (2.4) для нормализованных 5-сплайнов имеет вид

С его помощью легко можно построить последовательность сплайнов Приведем первые четыре функции этой последовательности для случая равноудаленных узлов hi = h.

Будем обозначатьТочка - это середина отрезка-носителя В-сплайна. Тогда имеем

Эти В-сплайны изображены на рис. 1.3, а, б, в, г соответственно.

В § 1 было отмечено, что многочлены Рп(х) степени не выше n являются элементами пространства сплайнов .Следовательно, они представимы через базисы этих пространств, в частности через базис из В-сплайнов в пространстве . Для вывода формул воспользуемся тождеством (2). После умножения обеих его частей на число и суммирования по индексу i получаем

Лемма 1.4. Справедливо тождество

в предположении

Доказательство. В формуле (4) положим Тогда получаем

Подставляя в (3), находим

Повторяя это преобразование n раз, получим справа

Теперь разложим обе части тождества (5) по степеням t. При этом

Здесь суть символы элементарных симметрических функций от n аргументов степени а. Это многочлены, состоящие из слагаемых. Они имеют вид

Подставляя разложения (6) и (7) в (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, находим представления мономов через нормализованные В-сплайны па отрезке

В частности, при а = 0 получаем соотношение

которое для нормализованных 5-сплайпов играет ту же роль, что свойство (2.6) для самих 5-сплайнов.

Полученные формулы (8) решают вопрос о представлении произвольного многочлена п-й степени через нормализованные В-сплайны.

Заключение

В данной работе мы рассмотрели понятие сплайна и основные определения необходимые для работы с ним. Было изучено понятие базисного сплайна или B-сплайна, а так же уделено внимание его форме в виде нормализованного сплайна. Так же была создана программа для интерполяции сплайнов при помощи языка программирования высокого уровня C++.

 Скачать реферат