Производные и дифференциалы высших порядков

Задание 1

Вычислить пределы функций:

а). , б). , в). , г). .

Решение

а). Для раскрытия неопределенности

разложим знаменатель на множители и сократим дробь.

.

б). Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби почленно на

.

в). Для раскрытия неопределенности используем следствие из первого замечательного предела .

.

г). Для раскрытия неопределенность умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное с числителей и сократим дробь.

Задание 2

Найти производные заданных функций

а). ; б). ; в). .

Решение

а). Используем правила дифференцирования суммы функций и сложной функции.

б). Находим производную сложной функции.

.

в). Находим производную сложной функции.

Задание 3

Исследуйте функция и постройте ее график.

.

Решение

1. Найдем область определения функции:

2. Проверим, является ли функция четной или нечетной:

,

следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

С осьюОх: , тогда .

С осью Оу: , тогда .

4. Находим первую производную:

при .

Исследуем знаки производной при переходе через критические точки.

Функция возрастает при. Функция убывает при .. Получаем - точка максимума, - точка минимума.

5. Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба найдем вторую производную:

Вторая производная равна нулю при.

Наносим на числовую прямую точку и исследуем знак второй производной на каждом из интервалов.

Рис. 1.

В интервале график функции – выпуклый, в интервале - вогнутый. . Получаем - точка перегиба.

6. Находим асимптоты.

Область определения функции – вся числовая прямая, поэтому вертикальных асимптот нет.

Наклонную асимптоту ищем в виде: .

Следовательно, наклонных асимптот нет.

7. Строим график функции (рис. 1):

Задание 4

Найти неопределенные интегралы.

а). ; б). .

Решение

а). Используем способ замены переменной.

.

б). Используем способ интегрирования по частям.

Задание 5

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделайте чертеж.

, .

Решение

Имеем параболу и прямую . Нужно найти площадь выделенной на рисунке 2 фигуры.

Рис. 2.

Найдем пределы интегрирования (точки пересечения графиков функций), решив систему уравнений:

Площадь фигуры равна:

Задание 6

Вычислите по формуле прямоугольников при определенный интеграл, определите погрешность вычислений:.

Решение

функция неопределенный интеграл решение

Формула средних прямоугольников имеет вид:

, где .

Согласно условию, , следовательно, .

Искомый интеграл равен:

.

 Скачать реферат