Асимптотика решений дифференциальных уравнений

Рефераты / Математика / Асимптотика решений дифференциальных уравнений

ТЕОРЕМА 1. Пусть функции 1

определены и непрерывны в вместе со всеми своими частными произвооными до второго'порядка включительно, а функции непрерывны в вместе со всеми своими первыми частными производными. Тогда существует число такое, что при любом на конечном промежутке времени [to, L]:

1) решение системы (2.1) остается в G и функции h с точностью до величин порядка О (г) совпадают соответственно с функциями представляющими собой решение следующей автономной системы не зависящих от е обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых выражаются через правые части системы (2.1):

циал дуги фазовой траектории (2.3), интегрирование ведется при произвольно фиксированной паре

Предполагаем, что решение системы

(2.8)

имеет начальные значения

2) Функции х (I, е), у (г, е) с точностью до величин порядка О (е) совпадают соответственно с функциями

Здесь ф0 определяется из соотношений постоянная величина, v (t, e) — решение уравнения:

Доказательство. Прежде всего установим ряд свойств решения (2.6) системы (2.2), имеющих место при тех требованиях гладкости, которые указаны в формулировке теоремы 1.

Свойство 1. Периодом решения (2.6) является функция

следовательно, эта функция непрерывна в Gh вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно. Действительно, из (2.2) следует соотношение интегрирование которого дает формулу (2.9). Из указанной в условиях теоремы гладкости функций

следует соответствующая гладкость функции Т(h, z) в Gh.

Свойство 2. Функции определены и непрерывны в области — вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно.

В самом деле, в силу указанной гладкости правых частей системы (2.2), из (2.5), по теореме о неявных функциях, следует, что функции а (/г, z), Р (/г, z) непрерывны в Gh вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно. Далее, из теорем о существовании и единственности, о непрерывности и непрерывной дифференцируемости решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений по начальным значениям и по параметрам следует, что функции вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно, непрерывны в области — . Следовательно, функции обладают свойством 2 как сложные функции.!

Свойство 3. Пусть D — некоторая ограниченная замкнутая об ласть, содержащаяся в Gh. Тогда на множестве — функции вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно ограничены.