Алгебраическая проблема собственных значений

fm(l) = (am - l) fm-1 (l) – b2 m fm-2(l).

Приняв

f0 (l) = 1 и f1 (l) = a1 - l при r = 2, п,

получим совокупность полиномов, известную как последовательность Штурма и обладающую тем свойством, что корни полинома fj (l) располагаются между корнями полинома fj+1 (l). Поэтому для f1 (l) = a1— l можно утверждать, что значение lК = а1 заключено между корнями полинома f2 (l) == (a2 — l) (a

1 — l) —b22. Это облегчает итера­ционное определение корней полинома, так как если известны границы интервалов, в которых лежат значения корней полино­ма, то их можно найти методом половинного деления. Так после­довательно находят корни всех полиномов, и последний из них fn (l) дает все искомые п собственные значения. Эту процедуру можно проиллюстрировать графически (см. рис. 3).

Последовательность Штурма обладает еще и таким свойством: для любого значения b, при котором fn (b) <> 0, число собствен­ных значений матрицы A, больших b, равно числу изменений знака последовательности

1, f1 (b), f2 (b), … , (1)n fn (b).

Если целое число, равное числу изменений знака, обозначить че­рез V(b), то число собственных значений в интервале действи­тельных чисел [b, с] будет равно V(b)—V(c).

	Корень многочлена f1 (l) f1 (b)
	Корни многочлена f2 (l) f1 (b)
	Корни многочлена f3 (l) f1 (b)

………………………………………………………………………………………………………

	Корни многочлена fn-1 (l) f1 (b)
	Корни многочлена fn (l) f1 (b)

Рис. 3. Итера­ционное определение корней полинома

6. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

В этом разделе мы рассмотрим два метода определения собст­венных значений, имеющие большое практическое значение. Оба разработаны в последние 20 лет и наиболее эффективны в тех случаях, когда требуется найти все собственные значения про­извольной матрицы действительных или комплексных чисел. В обоих используются преобразования, позволяющие получить последовательность подобных матриц, сходящуюся к матрице блочной треугольной формы:

где блоки Хm, представляют собой матрицы размерности 2 х 2, расположенные на главной диагонали. Собственные значения блоков Хm, являются в то же время собственными значениями исходной матрицы размерности п x п. Такая форма удобна, так как детерминант второго порядка блоков Хm позволяет опреде­лять комплексные собственные значения, не вводя комплексных элементов в окончательную матрицу. Если все собственные зна­чения исходной матрицы действительные, то в окончательном виде она будет треугольной, причем собственные значения будут расположены на диагонали.

 Скачать реферат