Алгебраическая проблема собственных значений

{**********************************************************************}

# FIND THE LARGEST ELEMENT

XBIG = X(1)

IF(X(2).GT.XBIG)XBIG=X(2)

IF(X(3).GT.XBIG)XBIG=X(3)

# Нормирование по XBIG

X(l) = X(1)/XBIG

X(2) = X(2)/XBIG

X(3) = X(3)/XBIG

XL = XBIG

RETURN

END

{**********************************************************************}

Результат раб

оты программы получаем в виде:

Отметим, что для достижения требуемой точности потребовалось 14 итераций.

Определение наименьшего собственного значения методом итераций

В некоторых случаях целесообразно искать наименьшее, а не наибольшее собственное значение. Это можно сделать, предвари­тельно умножив исходную систему на матрицу, обратную A:

А-1АX=lА-1X.

Если обе части этого соотношения умножим на 1/l, то получим

1/l Х = A-1X.

Ясно, что это уже иная задача на собственное значение, для кото­рой оно равно 1/l, а рассматриваемой матрицей является A-1. Максимум 1/l, достигается при наименьшем l. Таким образом, описанная выше итерационная процедура может быть использо­вана для определения наименьшего собственного значения новой системы.

Определение промежуточных собственных значений методом итераций

Найдя наибольшее собственное значение, можно определить следующее за ним по величине, заменив исходную матрицу мат­рицей, содержащей лишь оставшиеся собственные значения. Используем для этого метод, называемый методом исчерпывания. Для исходной симметричной матрицы A с известным наиболь­шим собственным значением l1 и собственным вектором X1 мож­но воспользоваться принципом ортогональности собственных векторов, т. е. записать

ХiT Хj =0 при i<>j и ХiT Хj =1 при i=j.

Если образовать новую матрицу A* в соответствии с формулой

A*=A-l1Х1Х1T,

то ее собственные значения и собственные векторы будут связаны соотношением

А*Xi =liXi.

Из приведенного выше выражения для матрицы A* следует, что

A* Хi= AХi -lХ1 Х1TXi.

Здесь при i = 1 свойство ортогональности позволяет привести правую часть к виду

A Х1- l1 Х1.

Но по определению собственных значений матрицы A это выра­жение должно равняться нулю. Следовательно, собственное значение l1 матрицы A* равно нулю, а все другие ее собственные значения совпадают с собственными значениями матрицы A. Таким образом, матрица A* имеет собственные значения 0, l2, l3,. . ., ln и соответствующие собственные векторы Х1, Х2, Хз,. . . Хn. В результате выполненных преобразований наибольшее собственное значение l1 было изъято, и теперь, чтобы найти сле­дующее наибольшее собственное значение l2, можно применить к матрице A* обычный итерационный метод. Определив l2 и Х2, повторим весь процесс, используя новую матрицу A**, получен­ную с помощью A*, l2 и Х2. Хотя на первый взгляд кажется, что этот процесс должен быстро привести к цели, он имеет сущест­венные недостатки. При выполнении каждого шага погрешности в определении собственных векторов будут сказываться на точ­ности определения следующего собственного вектора и вызы­вать накопление ошибок. Поэтому описанный метод вряд ли применим для нахождения более чем трех собственных значений, начиная с наибольшего или наименьшего. Если требуется полу­чить большее число собственных значений, следует пользоваться методами преобразования подобия.

 Скачать реферат