Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях

2) рассматривают цепь после коммутации в новом установившемся режиме и находят принужденную составляющую переходного процесса;

3) тем или иным способом получают характеристическое уравнение и находят его корни в соответствии с которыми определяют вид свободной составляющей;

4) записывают решение в виде суммы принужденной и свободной составляющих.Если характеристическое уравнение n – ого

порядка, то формируется система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) n - ого порядка, включающая (n-1) производную решения. Переписывают СЛАУ для ;

5) рассматривают цепь после коммутации в переходном режиме; рассчитывают необходимые начальные условия (ННУ);

6) подставляют ННУ в СЛАУ при и находят произвольные постоянные;

7) записывают полученное решение.

Способы получения характеристического уравнения

Существуют различные способы получения характеристического уравнения.

Если цепь описывается всего одним уравнением, то его алгебраизируют: d/dt заменяют на p, dt заменяют на 1/p, правую часть обращают в ноль и получают характеристическое уравнение.

Если режим в цепи описывается системой из нескольких уравнений, то методом подстановки их сводят к одному и поступают точно также как описано выше (обычно так не делает).

Универсальный способ

Систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи после коммутации алгебраизируют и составляют определитель системы, и приравняв его к нулю, получают характеристическое уравнение.

Воспользуемся этим способом.

Пусть схема после коммутации имеет вид:

, ,

Если в схеме нет управляемых источников и взаимных индуктивностей, то проще всего поступить так: в схеме после коммутации все источники заменить их внутренним сопротивлением, вместо индуктивности L написать pL, вместо емкости C написать .

а) Если в полученной схеме нет ветви без сопротивления, томожно разомкнуть любую ветвь полученной пассивной схемы и относительно точек разрыва записать выражение для нахождения .

б) Если в полученной схеме есть ветви без сопротивления, то размыкать надо именно ту ветвь, в которой ищется переходный ток или напряжение и относительно точек разрыва записывают .

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Для рассмотренного выше примера получим:

Выражение для свободной составляющей содержит столько слагаемых, сколько есть корней, а слагаемые имеют такой вид:

а) каждому простому вещественному корню соответствует слагаемое .

Если два корня, то процесс апериодический.

б) двум комплексно-сопряженным корням: и соответствует A1ePx1 t +A2ePx2 t, где A1, A2 – получаются комплексными числами, причем комплексно-сопряженными числами. Поэтому с помощью формулы Эйлера этот результат можно записать в другом виде (где не будет j): .

По этому выражению не очень удобно строить графики. Используя формулы тригонометрии его можно преобразовать (либо в sin, либо в cos): Ce-t sin(ct+1)=De-t cos(c t+2) – затухающий во времени гармонический процесс – колебательный процесс.

в) среди корней есть m одинаковы[ (если таких корней два, то переходный процесс называется критическим).

;

Пример: Дано: E=40В, R1 =R2=400 Ом, L=5Гн, C=5 мкФ. Найти .

1) В схеме до коммутации стоит постоянный источник, следовательно, ток в установившемся режиме постоянный.

t<0

, .

Если источник ЭДС синусоидальный, то эту часть задачи решают символическим методом.

2) Рассчитывают новый установившийся режим, находят принужденную составляющую.

t

Видно, что после коммутации в схеме есть только постоянный источник ЭДС и поэтому в принужденном режиме – постоянный ток.

.

3) получают характеристическое уравнение

.

4) записывают решение

5) определяют начальные условия

Для схемы после коммутации записывают систему уравнений по законам Кирхгофа. Число этих уравнений больше, чем число неизвестных, однако при t=0, известны все iL(0) и uC(0), поэтому при добавлении этих независимых условий из полученной при t=0 системы можно найти все остальные зависимые начальные условия, например, методом подстановки.

При решении надо выразить значения токов и напряжений в момент t=0, их производные по времени в момент t=0 через параметры элементов схемы и независимые начальные условия.

 Скачать реферат