Магические квадраты

План

ведение

1. История появления магических квадратов

2. Способы заполнения магических квадратов

3. Реализация способов заполнения магических квадратов с помощью программы Microsoft Excel.

4. Исследование количества решений поставленной задачи.

5. Выводы

Используемые источники

Введение

Однажды за 3 минуты до конца урока математики учитель пр

едложил нам решить следующую задачу.

Задача: заполнить квадрат 3´3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы были использованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналях была одинакова.

Так как никто не справился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено на дом. Из 25 учеников нашего класса с ней справился только один. Он изобразил заполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут 10-15. Он перебирал различные варианты, пока не пришел к нужному.

Меня заинтересовала предложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает очень много времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Это побудило меня заняться исследовательской работой.

Тема исследования: заполнение магических квадратов.

Объект исследования: магический квадрат.

Гипотеза: для заполнения магического квадрата существуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.

Цели исследования: изучить способы заполнения магических квадратов и историю их появления

Задачи исследования:

- Познакомиться с историей появления и названия магических квадратов

- изучить известные способы заполнения магических квадратов

- познакомиться с программой Microsoft Excel

- разработать в Microsoft Excel шаблоны для заполнения магических квадратов

- исследовать количество решений для магических квадратов 3 и 5 порядка.

Методы исследования: анализ литературы и Интернет-ресурсов, эксперимент.

Этапы исследования:

1. знакомство с литературой и Интернет-ресурсами

2. опробация найденных методов

3. изучение программы Microsoft Excel на уровне необходимом для заполнения квадратов и вычисления их сумм

4. оформление работы

Оборудование:

- компьютер

- проектор для демонстрации презентации

- сопроводительная презентация

- документ Microsoft Excel с подготовленными шаблонами по различным методам.

1. История появления магических квадратов

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

рис.1 рис.2

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры .

Основная терминология

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка.

В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2. Доказано, что n  3. Зависимость постоянной квадрата от его порядка можно проследить с помощью тадлицы.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.

Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рис. 3).

Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на рис. 3.

рис.3

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.

2. Способы заполнения магических квадратов

Магические квадраты нечетного порядка

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера (сиамский метод). Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правого края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

рис.4

Для облегчения заполнения квадрата данным методом, а именно определения места заполнения следующей клетки, после края квадрата можно воспользоваться следующей схемой

Поставим 1 в среднюю клетку верхнего ряда и продолжим последовательность по диагонали вправо-вверх. Если очередное число на диагонали выходит за границы квадрата, мы его переставляем в соответствующее поле в квадрат (см. рис.5).

 Скачать реферат