Неравенства

2) Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением не

равенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)<0, то другая часть плоскости.

3) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:

.

Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.

4) Пример. Решить систему неравенств:

Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество .

Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.

5. Решение рациональных неравенств методом интервалов

В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а): точка х=α делит числовую ось на две части — справа от точки α двучлен (х‑α)>0, а слева от точки α (х-α)<0.

Пусть требуется решить неравенство (x-α1)(x-α2) .(x-αn)>0, где α1, α2 .αn-1, αn — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α1 < α2 < .< αn-1 < αn. Для решения неравенства (x-α1)(x-α2) .(x‑αn)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α1, α2 .αn-1, αn; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа αn, ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α1)(x‑α2) .(x-αn)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α1)(x-α2) .(x‑αn)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где – многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.

Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.

2) Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.

Решение неравенств методом интервалов

3. < 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств:

.

Для функции f(x) = – 20. Находим f(x):

откуда x = 29 и x = 13.

f(30) = – 20 = 0,3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10 < 0.

Ответ: [4; 29).

х2+х-2

Пусть f(x)=х2+х-2 тогда найдем такие х при которых f(x)<0.

Найдем нули х=1, х=-2.

х3-4х<0

x(x2-4)<0

x(x-2)(x+2)<0

x=0 x=2 x=-2

6. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Решение неравенства, содержащего выражение , приводит к рассмотрению двух случаев:

Можно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой |a| означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а |a-b| означает расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме. Если выражения f(x) и g(x) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства f(x)>g(x) и (f(x))2>(g(x))2 равносильны.

Можно использовать свойства неравенств, содержащих переменную под знаком модуля:

Решить неравенство:

.

Объединяя результаты получим .

 Скачать реферат