Неопределенный интеграл

12. =.

13. =.

13′=.

14. =.

Справедливость формул 7,8,11′,12,13′и 14 легко устанавливается с помощью дифференцирования.

В случае формулы 7 имеем ′=,

следовательно, .

В случае формулы 8

′=,

следовательно, =.

В случае формулы 12

′=,

следовательно, =.

В случае формулы 14

следовательно, =.

3). Некоторые свойства неопределенного интеграла

Теорема 1.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:

(1)

Из доказательства найдем производные от левой и правой частей этого равенства. На основании равенства (4) пункта №1 находим

Таким образом, производные от левой и правой частей равенства (1) равны между собой, т. е. производная от любой первообразной, стоящая в левой части, равняется производной от любой функции, стоящей в правой части равенства. Следовательно по теореме из пункта №1 любая функция, стоящая в левой части равенства (1), отличается от любой функции, стоящей в правой части равенства(1), на постоянное слагаемое. В этом смысле и нужно понимать равенство (1).

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если a=const, то

(2)

Для доказательства равенства (2) найдем производные от левой и правой его частей:

Производные от правой и левой частей равны, следовательно, как и в равенстве (1), разность двух любых функций, стоящих слева и справа, есть постоянная. В этом смысле и следует понимать равенство (2).

При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила.

1).Если

то

(3)

Действительно, дифференцируя левую и правую части равенства (3) получим

Производные от правой и левой частей равны, что и требовалось доказать.

2). Если

то

(4)

3. Если

то

. (5)

Равенства (4) и (5) доказываются дифференцированием правой и левой частей равенств.

Пример 1.

=

Пример 2.

=

=

Пример 3.

.

Пример 4.

Пример 5.

4)Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки

Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную для f(x) мы не сможем , но нам известно, что она существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

x=φ(t), (1)

где φ(t)-непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда dx= φ′(t)dt;докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство:

(2)

Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х на основании равенства (1).

Для того чтобы установить, что выражения, стоящие справа и слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по х равны между собой . Находим производную от левой части : Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по х как сложную функцию, где t-промежуточный аргумент. Зависимость t от х выражается равенством (1), при этом и по правилу дифференцирования обратной функции .

Таким образом, имеем

Следовательно, производные от х от право й и левой частей равенства (2) равны, что и требовалось доказать.

Функцию следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2).

Замечание. При интегрировании иногда целесообразнее подбирать замену переменной не в виде , а в виде Проиллюстрируем это на примере. Пусть нужно вычислить интеграл, имеющий вид

.

 Скачать реферат