Решение систем дифференциальных уравнений при помощи неявной схемы Адамса 3-го порядка

, (2.7)

где С0 – константа устойчивости, p – порядок апроксимации.

Поэтому для увеличения точности решения необходимо уменьшить шаг сетки h.

На практике применяется множество видов конечно-разностных схем, которые подразделяются на одношаговые, многошаговые схемы и схемы с дробным шагом.

Одношаговые схемы <

p>– Метод Эйлера

Заменяем интеграл в правой части уравнения (2.5) по формуле левых прямоугольников:

(2.8)

Получим:

, (2.9)

где k=0,1,2,…,n.

Схема явная устойчивая. В силу того, что формула для левых прямоугольников имеет погрешность второго порядка, точность ε(h) первого порядка.

– Неявная схема 1-го порядка

Используя формулу правых прямоугольников, получим:

(2.10)

Эта схема неразрешима в явном виде относительно , поэтому проводится итерационная процедура:

, (2.11)

где s=1,2,… - номер итерации. Обычно схема сходится очень быстро – 2-3 итерации. Неявная схема первого порядка эффективнее явной, так как константа устойчивости С0 у неё значительно меньше.

– Метод Эйлера-Коши

Вычисления проводятся в два этапа : этап прогноза и этап коррекции.

На этапе прогноза определяется приближенное решение на правом конце интервала по методу Эйлера:

(2.12)

На этапе коррекции, используя формулу трапеций, уточняем значение решения на правом конце:

(2.13)

Так как формула трапеций имеет третий порядок точности, то порядок погрешности апроксимации – равен двум.

– Неявная схема 2-го порядка (метод Эйлера-Коши)

Используя в (2.5) формулу трапеций, получим:

(2.14)

Схема не разрешена в явном виде, поэтому требуется итерационная процедура:

, (2.15)

где s=1,2,… – номер итерации. Обычно схема сходится за 3-4 итерации.

Так как формула трапеций имеет третий порядок точности, то погрешность апроксимации – второй.

Схемы с дробным шагом

– Схема предиктор-корректор (Рунге-Кутта) 2-го порядка

Используя в (2.5) формулу средних, получим:

,(2.16)

где – решение системы на середине интервала [xk, xk+1] . Уравнение явно разрешено относительно , однако в правой части присутствует неизвестное значение . Поэтому сначала расчитывают (предиктор):

. (2.17)

Затем расчитывают (корректор) по формуле (2.16). Схема имеет первый порядок погрешности.

– Схема Рунге-Кутта 4-го порядка

Используя в (2.5) формулу Симпсона, получим:

(2.18)

Наиболее часто рассчитывают неявное по уравнение по следующей схеме:

Сначала рассчитывают предиктор вида:

(2.19)

затем корректор по формуле:

(2.20)

Поскольку формула Симпсона имеет пятый порядок погрешности, то точность ε(h) – четвёртого порядка.

Многошаговые схемы

Многошаговые методы решения задачи Коши характеризуются тем, что решение в текущем узле зависит от данных не в одном предыдущем или последующем узле сетки, как это имеет место в одношаговых методах, а зависит от данных в нескольких соседних узлах.

Идея методов Адамса заключается в том, чтобы для повышения точности использовать вычисленные уже на предыдущих шагах значения

Если заменим в (2.5) подинтегральное выражение интерполяционным многочленом Ньютона, построенного по узлам , то после интегрирования на интервале получим явную экстраполяционную схему Адамса. Если заменим в (2.5) подинтегральное выражение на многочлен Ньютона, построенного по узлам , то получим неявную интерполяционную схему Адамса.

– Явная экстраполяционная схема Адамса 2-го порядка

(2.21)

Схема двухшаговая, поэтому необходимо для расчётов найти по схеме Рунге-Кутта 2-го порядка , после чего , , … вычисляют по формуле (2.21)

– Явная экстраполяционная схема Адамса 3-го порядка

(2.22)

Схема двухшаговая, поэтому необходимо сперва найти и по схеме предиктор-корректор 4-го порядка, после чего , , … вычисляют по формуле (2.22).

3. Описание используемого метода

Для решения системы дифференциальных уравнений выбрана неявная схема Адамса 3-го порядка, как одна из наиболее точных конечноразностных схем для решения задачи Коши. Чтобы прийти к неявной схеме Адамса, заменим подинтегральное выражение в уравнении:

(3.1)

интерполяционным многочленом Ньютона 2-го порядка, вида:

(3.2)

После интегрирования полученного выражения на интервале , приходим к уравнению неявной схемы Адамса 3-го порядка:

. (3.3)

 Скачать реферат