Применение уравнение Лагранжа II рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы

Предположим, что система имеет s степеней свободы, т.е. положение определяется s обобщенными координатами .

При наличии нестационарных связей радиус-вектор является функцией обобщенных координат и времени:

,) (i = 1,2,…, n).

Сообщим элементарное приращение только одной координате , оставляя неизменными все остальные обобщенные координаты.

Тогда радиус-вектор точки Мполучит приращение , обусловленное приращением этой координаты:

=.

Вычислим работу всех сил, действующих на механическую систему на перемещения точек , вызванных перемещением координаты :

= = ==

Разделив на элементарное приращение обобщенной координаты , получим величину , называемую обобщенной силой:

=(1)

Определение 6 [2, с. 320]: Обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называется скалярная величина, определяемая отношением элементарной работы действующих сил на перемещение механической системы, вызванном элементарным приращением координаты , к величине этого приращения.

В случае сил, имеющих потенциал, обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате , равна взятой со знаком минус частной производной от потенциальной энергии механической системы по этой координате.

= (j =1, 2, …, s).

5 Уравнения Лагранжа второго рода

Предположим, что механическая система из n материальных точек имеет s степеней свободы. В случае голономных нестационарных связей радиус-вектор любой точки М, этой системы является функцией обобщенных координат и времени t:

,). (2)

Обобщенные координаты системы являются функциями времени. Поэтому радиус-вектор является сложной функцией времени и вектор скорости точки , определяется по правилу дифференцирования сложной функции:

(3)

Из выражения (3) следует, что частная производная от по какой-либо обобщенной скорости равна коэффициенту прив правой части этого выражения, т.е. равна частной производной от по координате :

(4)

Кинетическая энергия механической системы, как известно, определяется по формуле:

(5)

Из выражения (3) следует, что вектор скорости точки в случае голономных нестационарных связей является функцией обобщенных координат, содержащихся в выражениях , обобщенных скоростей и времени. Поэтому кинетическая энергия механической системы является функцией тех же переменных:

(6)

Найдем частные производные от кинетической энергии по обобщенной координате и обобщенной скорости , дифференцируя выражение (5) как сложную функцию:

Преобразуем последнее выражение на основании равенства (4):

Продифференцируем это выражение по времени:

(7)

Рассмотрим две суммы, входящие в правую часть полученного равенства (7), учитывая, что для несвободной материальной точки

1. С помощью равенства (1), определяющего обобщенную силу, находим:

2. Для установления значения второй суммы рассмотрим выражение

Частная производная является функцией тех же переменных, от которых, согласно (2), зависит радиус-вектор точки . Дифференцируем как сложную функцию времени:

 Скачать реферат