Применение производной при нахождении предела

2. Основные теоремы дифференциального исчисления

2.1 Теорема Ферма о нуле производной

Теорема. Если f (x) - определена на (a,b) и дифференцируема в точке x0Î (a,b), принимает в точке x0 наибольшее или наименьшее значение, то f¢ (x0) =0.

Доказательство. Для случая наименьшего значения

f¢ (x0+0) =³ 0, f¢ (x0-0) = £ 0 Þ f¢ (x0) =0

Геометрическая интерпретация

2.2 Теорема Ролля о нуле производной

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f (a) =f (b). Тогда

$ x0Î (a,b): f¢ (x0) =0.

Доказательство. Положим

, .

Хотя бы одна из точек x1, x2 внутренняя и для этой точки утверждение следует из теоремы Ферма.

2.3 Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то

$xÎ (a,b): f (b) - f (a) =f¢ (x) (b-a).

Доказательство. Рассмотрим функцию

.

Для этой функции F (a) =F (b) =0, и к ней применима теорема Роля

.

Геометрическая интерпретация

Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде, соединяющей точки A и B графика.

Следствие 1. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢ (x) º0 на (a,b), то f (x) ºconst.

Применяя теорему к произвольному отрезку [x0,x], где x0 произвольная фиксированная точка, получим

f (x) - f (x0) =f¢ (x) (x - x0) =0, т.е. f (x) = f (x0).

Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f¢ (x) =g¢ (x) на (a,b), то f (x) =g (x) + const.

2.4 Теорема Коши о конечных приращениях

Теорема. Если f, g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), то существует

xÎ (a,b): g¢ (x) (f (b) - f (a)) = f¢ (x) (g (b) - g (a)).

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F (x) = g (x) (f (b) - f (a)) - f (x) (g (b) - g (a)).

Для этой функции

F (a) = g (a) (f (b) - f (a)) - f (a) (g (b) - g (a)) = g (a) f (b) - f (a) g (b),

F (b) = g (b) (f (b) - f (a)) - f (b) (g (b) - g (a)) = - f (a) g (b) +g (a) f (b),

таким образом, F (a) =F (b) и к ней применима теорема Ролля: существует точка xÎ (a,b) для которой выполняется равенство

0=F (b) - F (a) =F¢ (x) (b-a) = [g¢ (x) (f (b) - f (a)) - f¢ (x) (g (b) - g (a))] (b-a).

Следствие. Если g¢ (x) ¹0 на (a,b), то

.

Доказательство. Если g¢ (x) ¹0, то g (b) - g (a) ¹0. Иначе, в случае g (b) =g (a), по теореме Ролля нашлась бы точка x, где g¢ (x) =0.

3. Раскрытие неопределенностей. правило лопиталя

3.1 Раскрытие неопределенностей вида 0/0

Дано: f (x), g (x) определены на (x0,b) и

1)

2) f,g дифференцируемы на (x0,b)

3) g¢ (x) ¹0 на (x0,b).

Тогда

,

если существует конечный или бесконечный предел

.

Доказательство. Доопределим f, g в точке x0 по непрерывности нулем f (x0) =g (x0) =0. По тереме Коши, примененной к отрезку [x0,x], будет существовать x (x) Î (x0,x): x0<x (x) < x и , из условия x0<x (x) <x следует, что , причем x (x) ¹x0, если x¹x0. По теореме о существовании предела суперпозиции

=ч. т.д.

Замечание. Аналогично это утверждение доказывается для левой окрестности. Откуда получаем утверждение для x® x0.

Следствие 1. Если

1) Существуют f (k),g (k), k=1,2,…,n на (x0,b)

2) , k=0,1,…,n-1

3) Существуeт g (n) (x) ¹0 на (x0,b), то

,

если

существует, конечный или бесконечный.

Следствие 2. Если f, g дифференцируемы для x>a,

, то

,

если последний существует, конечный или бесконечный.

Доказательство. Сделаем замену

Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x® - ¥.

3.2 Раскрытие неопределенностей вида ¥/¥

f,g определены на (x0,b) и

1)

2) f,g дифференцируемы на (x0,b)

3) g¢ (x) ¹0 на (x0,b)

Тогда

,

если последний существует конечный или бесконечный.

Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x® x0 - 0, x® x0, x® +¥, x® - ¥.

3.3 Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших

В некоторых случаях порядок бесконечно малой или бесконечно большой можно определить, последовательно вычисляя производные. Предположим, что f (x) - бесконечно малая при x® x0 и в точке x0 обращаются в ноль все производные до (n-1) - го порядка включительно f (x0) =0, f¢ (x0) =0,…, f (n-1) (x0) =0 и f (n) (x0) ¹0. В этом случае порядок этой бесконечно малой будет равен n. При этом главная часть будет равна

.

Это утверждение следует из равенства

,

в котором в качестве функции g (x) берется (x-x0) n.

.

Похожее утверждение можно сформулировать и для бесконечно больших функции.

Пример: f (x) = 3sh x - 3sin x - x3 при x® 0

 Скачать реферат