Применение производной при нахождении предела
= (1+2x++++idth=37 height=44 src="images/referats/7483/image157.png">+o (x5)) () =
1+2x+x2+x3+x4+x5+o (x5) =
1+2x+x2x3x4x5+o (x5).
Пример 4. Разложить функцию f (x) =1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x5 включительно. Представим функцию в виде
=1+u+u2+u3+o (u3), где u =.
Тогда
=1+u+u2+u3+o (u3) =1++++.
При вычислении степеней
нас интересуют только слагаемые степеней не выше x5, более высокие степени войдут в o (x5). Таким образом,
=,=, =.
Выражение
=
показывает, что в разложении
=1+u+u2+u3+o (u3)
можно, с самого начала, ограничится второй степенью
=1+u+u2+o (x5).
Подставляя нужные выражения в это равенство получим
=1+++=1+++.
Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f (x) =tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x6 включительно.
tg x==
=
x+x2 (0) +x3+x4 (0) +x5+x6 (0) =
=
Пример 6. Разложить функцию f (x) = (1+x) a - (1 - x) a по формуле Тейлора с остатком Пиано.
k = 2l+1,
Таким образом,
Следствие.
Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти предел (1401)
.
Имеем:
=|x|= sign x +o ().
Пример 8. Разложить функцию
f (x) =
по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x4 включительно.
Сначала выпишем разложение функции по степеням x до x3 включительно.
Положим u=x - x2, тогда
==1+u+u2+u3+o (u3) =1+ x - x2+ (x - x2) 2+ (x - x2) 3+o (x3) =1+x - x3 +o (x3).
Далее,
==1+2x (1+x - x3 +o (x3)) =1+2x+2x2-2x4+o (x4).
Второй способ. Так как
,
то на первом шаге выделяем единицу:
=.
Второе слагаемое представляем в виде Cxng2 (x) так, чтобы , после чего следует представить функцию g2 (x) в виде g2 (x) = 1+g3 (x) и т.д. В нашем случае:
====
==1+2x+=
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах