Определители и их применение в алгебре и геометрии

=-(а13*а22*0+а12*а33*0+а23*а32*0)=0

Свойство доказано.

Свойство №3: Есл

и один из определителей получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определители отличаются друг от друга знаком.

Доказательство: Возьмём матрицу определитель которой равен detA и переставим в ней 2 столбца. Получим:

,после перестановки получим: .

Посчитаем определители обеих матриц. Получим:

det A=(-1)0*((a11*a22*a33+a12*a23*a31+a21*a32*a13)-(a13*a22*a31+a21*a12*a33+a32*a23*a11))

det B=(-1)2*((a31*a22*a13+a21*a12*a33+a32*a23*a11)-(a33*a22*a11+a12*a23*a31+a21*a32*a13))

(a11*a22*a33+a12*a23*a31+a21*a32*a13)-(a13*a22*a31+a21*a12*a33+a32*a23*a11) +(a31*a22*a13+a21*a12*a33+a32*a23*a11)-(a33*a22*a11+a12*a23*a31+a21*a32*a13)=0

Получили, что det A=-det B.

Свойство доказано.

Свойство №4: Если все элементы какого-либо i-го столбца (строки) определителя являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей в первом из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого из трёх определителей одинаковы.

Доказательство:

Возьмём матрицу, в которой элементы первого столбца равны aij+bj и посчитаем её определитель.

.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.

.

То есть: .

Свойство доказано.

Свойство №5: Определитель, содержащий два пропорциональных, в частности два равных, столбца (строки), равен нулю.

Доказательство:

Пусть дан определитель detA≠0, содержащий две равные строки.

= detA ; =

Поменяем местами эти равные строки. Получим новый определитель.

.

Так как данный определитель получен из определителя detA перестановкой строк, то из предыдущего свойства следует, что полученный определитель принимает значение –detA. В то же время, количество слагаемых и модуль значений определителей detA и –detA равны, то справедливо будет равенство detA=-detA. Из данного равенства следует что detA=0. Свойство доказано.

Свойство №6: Определитель не меняется, если к какому-нибудь столбцу (строке) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк).

Доказательство:

Возьмём матрицу коэффициентов и посчитаем её определитель.

Прибавим к первому столбцу третий. Получим новую матрицу.

.

Посчитаем её определитель.

.

Свойство №7: Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя умножить на некоторое число k, то есть весь определитель умножается на k, то общий множитель любой строки или любого столбца можно выносить за знак определителя.

Доказательство: Возьмём матрицу и посчитаем её определитель.

То есть.

Свойство доказано.

5. Пример применения правила Крамера для решения систем n уравнений с n неизвестными

Определители очень широко используются при решении и исследовании систем линейных n уравнений с n неизвестными. Правило решения такой системы с помощью определителей называется правилом Крамера. Покажем это правило на примере.

Правило Крамера: правило решения системы n линейных уравнений. с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение. Это решение единственное и определяется таким правилом Крамера: значение каждого из неизвестных , где - определитель системы., матрица которого составлена из коэффициентов при неизвестных системы, а I – определитель, матрица которого получена заменой столбца коэффициентов при данном неизвестном на столбец свободных членов системы. В случае если определитель системы равен нулю, система имеет бесконечно много решений.

 Скачать реферат