Определители и их применение в алгебре и геометрии

2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение умножается на (-1). То есть ВxА=-(АxВ).

2. Векторное произведение обладает свойством сочетательности относительно числового множителя: и , т.е. чтобы умножить векторное произведение векторов на число, достаточно умножить на это число один из сомножителей.

3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, то есть .

4. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов А и В численно равна площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах А и В, как на сторонах.

3. Доказательства свойств

1. В самом деле, площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В, а также и его плоскость не меняются при перестановке А и В. Поэтому векторы А*В и В*А имеют одинаковые длины и коллинеарны. Направления же этих векторов противоположны; действительно, если смотреть на плоскость векторов А и В с конца вектора А*В, то кратчайший поворот от В к А будет казаться происходящим по часовой стрелке. Следовательно, вектор В*А будет направлен в противоположную сторону.

Заметим ещё, что в случае коллинеарности векторов А и В равенство АxВ=-(ВxА) очевидно, так как тогда АxВ и ВxA – нулевые векторы.

2. Обе формулы доказываются аналогично. Докажем, например, первую из них. Ограничимся случаем >0.

Для доказательства равенства векторов (АxВ) и АxВ заметим прежде всего, что длины этих векторов одинаковы:

.

Направления же векторов (А*В) и А*В совпадают, так как при умножении вектора на положительное число его направление не меняется.

3. Для доказательства заметим сначала, что произведение АxС0, где С0 – единичный вектор, можно построить так (рис. 1).

рис. 1.

Спроектируем вектор А=на плоскость, перпендикулярную к С0, и полученную вектор-проекцию 1 повернём в этой плоскости вокруг точки О по часовой стрелке на 900 (если смотреть на плоскость с конца вектора С0).

Полученный вектор 2 и равен А*С0. В самом деле,

1) ОА2=ОА1=Аcos(900-φ)=Asinф, где ф – угол между векторами А и С0;

2) Вектор 2 перпендикулярен к векторам А и С0 представляется совершающимся против часовой стрелки. Итак, 2=А*С0.

Пусть теперь даны единичный вектор С0, перпендикулярная к нему плоскость р и треугольник ОА1В1 (рис. 2.), в котором 1=А, =В и 1=А+В.

рис. 2.

Спроектируем треугольник ОА1В1 на плоскость р и повернём против проекцию ОА2В2 в плоскости р по часовой стрелке на 900.

Получим треугольник ОА3В3, в котором по предыдущему

3=(А+В)*С0, 3=В*С0, =В*С0.

Так как = + , то (А+В)*С0=А*С0 + В*С0.(1)

Заметив, что С=С*С0, умножим теперь обе части равенства (1) на скаляр С. Применив свойство 2 векторного произведения, получим:

(А+В)*СС

4. Справедливость этого утверждения основана на том, что площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними, что, в свою очередь, следует непосредственно из определения векторного произведения векторов А и В. (рис. 3,4)

рис. 3

Рис. 4

4. Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов.

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения.

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

 Скачать реферат