Методы оптимизации при решении уравнений

Из принципа максимума следует:

,

а следовательно:

Тогда, поскольку y3 меняет знак дважды, (пусть в моменты t1 и t2) можем записать

(8)

Подставим в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)

(9)

Используя начальные и конечные условия для х3 и условия непрерывности в t1 и t2 получим:

(10)

Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:

(11)

Используя начальные и конечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2, получим:

Используем непрерывность при и :

Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:

(12-14)

Подставив (12) в (13), получим уравнение

.

Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):

Тогда t1 из (12) равно

и, наконец,

Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):

(15)

Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:

Таким образом: моменты переключения: t1=1/4, t2=3/4, а заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.

Задание №6

Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:

где

.

Решение:

Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);

Y = (B, AB, A2B):

Таким образом

Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что

.

Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.

Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):

H=(CT, ATCT, (AT)2 CT);

.

Таким образом

Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что

Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.

Задание №7

Для линейной системы и квадратичного критерия

выполнить синтез оптимального управления с обратной связью

Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:

где

,

причем матрица l>0 (положительно определена).

Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:

Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы l, получим:

Тогда для уравнения, которое имеет вид

получим:

 Скачать реферат