Геометрические построения на плоскости

Необходимость. Ясно, что построение отрезка равносилъно построению его концов. Так как можно построить, то существует конечная последовательность основных построений, в результате выполнения которых на каком-то m -м шаге будет построен один конец (обозначим его через А

), а на к -ом - другой конец (точку в ). На плоскости построим прямоугольную декартовую систему координат.

Пусть А (,β), В (γ, δ) - координаты построенных точек. Данные отрезки построим на положительной полуоси ОХ, тогда длины этих отрезков выражаются числами а1,…,ар ς (А, В) = х = т.е. длина отрезка выражается через числа , β, γ, δ с помощью конечного числа основных действий. Если докажем, что сами числа , β, γ, δ выражаются через а1,…,ар с помощью конечного числа основных действий, то теорема будет доказана (длина отрезка выражается с помощью конечного числа основных действий).

Заметим, что любые построенные точки в ходе построения появляются двояко: либо выбираемые произвольно, либо как общие точки двух ранее построенных линий.

В первом случае выберем только такие точки, координаты которых выражаются через а1,…,ар при помощи конечного числа основных действий.

Во втором случае точка получается одним из следующих способов:

а) пересечение прямых (причем каждая прямая проведена через 2 построенные точки):

б) пересечение окружности и прямой (окружность построена через 2 построенные точки);

в) пересечение двух окружностей.

Рассмотрим случай а). Пусть прямая l1 проведена через точки

C1 (x1,y1) и D1 (x2,y2.). Покажем, что числа х1, у1, х2 и у2 могут быть выражены через а1,…,ар с помощью конечного числа основных действий (К4ОД). Действительно, пусть уравнение прямой l1 имеет вид:

в1х + с1у = d1

Легко убедиться, что чиcла в1, с1, d1 выражаются через х1, х2, у1, у2 с помощью конечного числа основных действий. То же самое имеет место относительно коэффициентов прямой l2 : в2х + с2у + d2=0.

Точка пересечения (x0, y0) еcть решение cиcтемы

причем решение выражается через в1, с1,…, d1 с помощью КrОД

В cлучае б) (х0, у0).- точка пересечения - есть решение системы

Числа х0,у0 выражаются через в,с, d, х1, х2, R c помощью КrОД.

В случае в) точка пересечения (х0,у0) является решением системы

Легко убедиться, что решение выражается с помощью КrОД через координаты ранее построенных точек.

Итак, координаты вновь построенных точек получаются через координаты ранее построенных с помощью конечного числа основных действий. Но, к ранее построенным точкам применимы точно такие же рассуждения. В конечном счете (из-за конечности числа построений циркулем и линейкой) получим, что координаты А и В выражаются через а1,…,ар с помощью КrОД.

Следствие. Если даны: отрезок, принимаемый за единичный, и число а, то отрезок длины а может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число а может быть получено из «I» посредством лишь конечного числа основных действий.

О задачах, не разрешимых циркулем и линейкой.

Большой интерес представляют такие задачи на построения, когда фигура, удовлетворяющая всем условиям задачи, заведомо существует, но не может быть построена указанными инструментами. Такого рода "доказательства невозможности" даже простых по формулировке задач на построение часто оказываются связанными с наиболее трудными вопросами алгебры, анализа.

Познакомимся с некоторыми классическими задачами на построение, решения которых не могут быть найдены о помощью циркуля и линейки.

1. Задача о квадратуре круга (пользовалась исключительной известностью с древнейших времен).

Построить циркулем и линейкой квадрат, площадь которого бала бы равна площади круга данного радиуса.

Пусть - радиус круга, , т.е. площадь крута равна площади квадрата со стороной Иначе говоря, x является средней пропорциональной и .

Если бы можно было построить , то легко можно было строить искомый квадрат.

Итак, задача о квадратуре круга свелась к задаче о опрямлении окружности, т.е. построению отрезка длины . При эта длина равна .

Ламберт И. (швейцарский математик) доказал, что π - иррациональное число. Но вопрос о возможности спрямления окружности остался открытым, так как согласно следствию из предыдущей теоремы отрезок длины а (при выбранном единичном отрезке) может быть построен циркулем и линейкой, если а получается из I с помощью конечного числа основных действий. Такие числа являются алгебраическими, т.е. служат корнями многочленов с рациональными коэффициентами. Числа, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.

В 1882 г. Линдеманн Ф. доказал, что π является трансцендентным числом. Следовательно, проблема о квадратуре крута разрешена, задача о квадратуре крута не разрешима о помощью циркуля и линейки.

2. Задачу удвоения куба: зная ребро куба, построить ребро куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного.

Пусть а - длина ребра данного куба, x - искомого. Имеем: х2 = 2а3. Если а = 1, то получим уравнение х3 – 2 = 0. Это уравнение не имеет рациональных корней (т.к. рациональные корни этого уравнения обязательно целые, их надо искать среди делителей свободного члена). Из алгебры известно: если уравнение рациональные числа) не имеет рационального корня, то ни один корень этого уравнения не может быть выражен через I лишь с помощью конечного числа основных действий. Тогда, учитывая указанное выше следствие, получим, что отрезок длины x не может быть построен с помощью циркуля и линейки.

 Скачать реферат