Геометрические построения на плоскости

Замечание. Эта задача может быть решена с привлечением двух прямых углов.

3. Задача о трисекции угла: построить угол, в 3 раза меньший данного.

Достаточно рассмотреть эту задачу для острых углов, т.к. при тупом угол является острым и третья часть равна Отсюда следует, что

Итак, пусть α - данный острый угол, φ - искомый,

Если отрезок длины x можно построить циркулем и линейкой, то из прямоугольника следует, что можно построить и сам угол φ. Следовательно, задача свелась к построению отрезка длины х, где x - один из корней уравнения (I).

Пусть α = 60º, тогда в = 1. Уравнение (I) приводится к виду:

Легко убедиться (из тех же соображений, что и выше), что у этого уравнения нет рациональных корней, следовательно нет ни одного корня, который выражался бы через I с помощью конечного числа основных действий.

Следовательно, задача о трисекции угла не разрешима циркулем и линейкой в общем виде.

Но, может быть, она никогда не разрешима? Это не так. Пусть α = 90°. Тогда уравнение (I) имеет вид: x3 - зх = 0, Отрезок можно построить, следовательно, задача в этом случае разрешима.

Замечание 1. Существуют приборы-трисекторы, позволяющие делить угол на три равные части.

АВСD и AB1C1D1 - ромбы, φ =.

Замечание 2. Задачу о трисекции угла легко решить циркулем. Строим последовательно: 1) окружность ω расстояние между отметками на линейке;

2) точку А;

3) прямую, проходящую через А так, чтобы расстояние между второй точкой пересечения с окружностью и точкой пересечения этой прямой с прямой ОN было равно .

Построение правильных многоугольников циркулем и линейкой.

Решение проблемы связано большими трудностями, и решена она полностью великим немецким математиком Гауссом в 1796 году.

Вопрос построения правильного n -угольника равносилен вопросу о возможности деления окружности на n равных частей. Возьмем окружноcть радиуcа и прямоугольную систему координат. Задача деления

окружности на n равных частей состоит в построении точек

т.е, в построении корней уравнения Zn – 1= 0 о тличных – от Z0 = 1. Это равносильно построению корней уравнения Это уравнение называется уравнением деления окружности.

Гаусс доказал следующую замечательную теорему.

Теорема. Построение правильного n - угольника с помощью циркуля и линейки возможно тогда и только тогда, когда (числа Ферма).

Рассмотрим несколько частных случаев:

Следовательно, правильный пятиугольник можно построить циркулем и линейкой.

Подставим:

Строим , потом Повторяя дугу АВ 3 раза, получим все точки.

Построения иными инструментами

1. Построения одним циркулем. Во многих случаях построения, проводимые циркулем, оказываются точнее, чем построения, проводимые линейкой.

Итальянский учений Л. Маскерони (1750-1800) и датский ученый Г.Мор (1640-1697) исследовали конструктивные возможности циркуля и доказали следующую теорему.

Теорема (Мора-Маскерони). Любая геометрическая задача на построение фигуры из конечного числа точек, разрешимая циркулем и линейкой может быть решена при наличии только циркуля.

Пояснения: 1) имеется в виду, что фигура состоит из конечного числа точек, окружностей, отрезков, лучей прямых; 2) циркулем конечно, нельзя построить прямую, отрезок, луч, здесь имеется в виду, что циркулем можно сделать их известными (прямая известна, если известны две ее точки; отрезок известен, если известны два его конца; луч известен, если известна начальная точка и точка, через которую проходит луч).

Доказательство опускаем.

2. Построения одной линейкой.

Построения одной линейкой исключительно ограничены. Например, отрезок нельзя разделить пополам. Но если на плоскости задана окружность, возможности увеличиваются.

Справедлива теорема. Всякая геометрическая задача на построение фигуры, состоящей из конечного числа точек, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена одной линейкой, если на плоскости построена окружность и отмечен ее центр (т.е. воли воспользоваться циркулем один раз). Это теорема Штейнера, иногда называют ее теоремой Понселе-Штейнера.

3. Построения двусторонней линейкой

Пример. Разделить данный угол пополам.

Проводим параллели, ОС - биссектриса

 Скачать реферат