История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду

В 1971 г., основываясь на достигнутом к этому времени про­движении в математических исследованиях, Д.Рюэль и Ф. Такенсвыступили с работой «О природе турбулентности». Подвергнув кри­тике теорию Ландау, они аргументировали, что уже после включе­ния в игру относительно небольшого числа частот (трех или четы­рех в зависимости от некоторых математических деталей) дина­мика может стать турбулентной и

, в частности, демонстрировать характерный для случайного процесса сплошной спектр. Это свя­зывалось с появлением в фазовом пространстве «странного аттрак­тора» — ключевой термин, введение которого определило истори­ческое значение работы Рюэля и Такенса. Подчеркивалось нали­чие неустойчивости фазовых траекторий на странном аттракторе и его нетривиальная геометрическая структура — он представлял собой то, что стали называть фрактальным множеством или про­сто фракталом.

С точки зрения интерпретации результатов, работа Рюэля и Такенса также оказалась уязвимой для критики. Многие вопросы, которые возникают в связи с предложенной ими карти­ной перехода к турбулентности, до сих пор остаются открытыми. Надо сказать, что аргументация и в работе Ландау, и в работе Рюэля и Такенса носила столь общий характер, что имела рав­ное отношение как к возникновению турбулентности, так и к воз­никновению сложной динамики в диссипативных системах другой физической природы. Дальнейшее понимание возможных типов перехода произошло благодаря еще одной линии развития.

Попытки математического описания биологических проблем динамики популяций восходят к Томасу Мальтусу (1766-1834), ав­тору нашумевшей концепции о том, что численность людей возра­стает в геометрической прогрессии, а средства поддержания жизни лишь в арифметической. Поэтому численность населения должна регулироваться войнами, эпидемиями и пр. Марксисты, как из­вестно, заклеймили эту теорию как человеконенавистническую. Не входя в полемику, заметим, что в отсутствие факторов, сдер­живающих рост населения, изменение численности популяции из года в год «по Мальтусу» можно описать как хп+\ = Rxn, где R — параметр, определяющий условия жизни популяции. Ввести сдер­живающий фактор можно, если добавить в уравнение нелинейный, например, квадратичный член: жп+1 = R(xn — x2n). Полученное соотношение называют логистическим отображением и оно дей­ствительно неплохо описывает, по крайней мере, с качественной стороны, динамику некоторых биологических популяций.

Интересный результат, проливающий свет на возможность сложной динамики в логистическом отображении, был получен в конце 40-х годов в работе американских математиков Станислава Улама (1909-1984) и Джона фон Неймана. Они показали, что для случая R = 4 это отображение путем замены переменных сводится к форме, допускающей тривиальный анализ, причем оказывается, что выбором начальной точки х можно реализовать любую на­перед заданную последовательность знаков величины х — хтах.

В 1975 г. американские математики Ли и Йорке опубликовали работу «Период три означает хаос». Речь шла о том, что если при частном значении параметра логистическое или другое одно­мерное отображение вида хп+\ = f(xn) имеет цикл периода три, то оно имеет бесконечное множество циклов всех прочих перио­дов. Эта работа привлекла большое внимание, и стоит отметить, что именно в ней в контексте нелинейной динамики впервые по­явился термин «хаос», ставший впоследствии общепринятым обо­значением всей области деятельности, о которой мы ведем речь. Только через несколько лет на Западе стало широко известно, что еще в 1964 г. советский математик А. Н. Шарковский опубликовал гораздо более содержательную теорему, устанавливающую самые общие закономерности сосуществования циклов различного пери­ода в одномерных непрерывных отображениях.

К середине 70-х годов было уже хорошо известно, что при увеличении параметра в логистическом отображении имеет место последовательность бифуркаций удвоения периода. Соответству­ющие компьютерные результаты очень наглядно были предста­влены, например, в работе Роберта Мэя (1976). В это время, занимаясь исследованием удвоений периода с помощью карман­ного калькулятора, американский физик Митчел Фейгенбаум, ра­ботавший в Лос-Аламосской национальной лаборатории, обнару­жил, что точки бифуркаций удвоения периода накапливались к определенному пределу – порогу возникновения хаоса по закону геометрической прогрессии с показателем 4,669 . Этот показатель оказался универсальным, т. е. возникал и в других отображениях, и, как затем выяснилось, в нелинейных диссипативных системах самого разного вида.

Используя аппарат, аналогичный развитому ранее в теории фазовых переходов, – метод ренормализационной группы, Фейгенбаум построил замечательную теорию, объясняю­щую универсальность удвоений периода (1978-1979). Теория эта выглядела слишком формально, с точки зрения физи­ков, и слишком нестрого, с точки зрения математиков, так что Фейгенбауму далеко не сразу удалось опубликовать статью с из­ложением своих результатов. Эта задержка отчасти компенсиро­валась тем, что Фейгенбаум активно рассказывал о своей работе на конференциях и семинарах.

В дальнейшем переход к хаосу через удвоения периода, демонстрирующий обнаруженные свой­ства универсальности, наблюдался в огромном количестве нели­нейных систем различной физической природы и в их моделях. Одна из первых очень аккуратных работ – эксперимент по кон­векции в жидком гелии (1979). Работа Фейгенбаума стимулировала также изучение и ренормгрупповое описание [10].

§ 2. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем

Математические модели являются одним из основных инструментов познания человеком явлений окружающего мира. Под математическими моделями понимают основные закономерности и связи, присущие изучаемому явлению. Это могут быть формулы или уравнения, наборы правил или соглашений, выраженные в математической форме. Испокон веков в математике, механике, физике и других точных науках естествознания для описания изучаемых ими явлений использовались математические модели. Так, законы Ньютона полностью определяют закономерности движения планет вокруг Солнца. Используя основные законы механики, относительно нетрудно составить уравнения, описывающие движение космического аппарата, например, от Земли к Луне. Однако получить их решение в виде простых формул не представляется возможным. Для расчета траекторий космических аппаратов служат компьютеры.

Создание моделей по экспериментальным временным рядам в математической статистике и теории автоматического управления получило название идентификации систем а в нелинейной динамике – реконструкции динамических систем.

Предшественницами современных задач реконструкции были задачи аппроксимации и статистического исследования зависимостей между наблюдаемыми величинами, которые рассматривались уже в середине XVIII века в работах И. Ламберта.

Первоначально наблюдаемые процессы моделировались с помощью явных функций времени η = f (t), аппроксимирующих множество экспериментальных точек на плоскости (t, η). Целью моделирования были прогноз будущего развития процесса или сглаживание наблюдаемых зашумленных данных. В начале XX века серьезный шаг в развитии методов эмпирического моделирования сложных процессов был сделан в математической статистике, когда было предложено использовать линейные стохастические модели. Этот подход был основным в течение полувека (20-70-е гг. ХХ в.) и нашел многочисленные приложения, особенно для автоматического управления. Формирование концепции динамического хаоса и развитие вычислительной техники привели к тому, что в последние годы эмпирическое моделирование проводится уже на основе нелинейных разностных и дифференциальных уравнений, в том числе многомерных. Рассматриваемые проблемы актуальны как в фундаментальном, так и в прикладном плане. Эмпирические модели востребованы в различных областях науки и практики в физике, метеорологии, сейсмологии, экономике, медицине, физиологии и других науках.

 Скачать реферат