Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Рефераты / Математика / Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

1. Предел числовой последовательности

Решение многих математических и прикладных задач приводит к последовательности чисел, заданных определенным образом. Выясним некоторые их свойства.

Определение 1.1. Если каждому натуральному числу по какому-то закону поставлено в соответствие вещественное ч

исло , то множество чисел называется числовой последовательностью.

Исходя из определения 1, видно, что числовая последовательность всегда содержит бесконечное число элементов. Изучение различных числовых последовательностей показывает, что с ростом номера их члены ведут себя по-разному. Они могут неограниченно увеличиваться или уменьшаться, могут постоянно приближаться к какому-то числу или вообще не проявлять какой-либо закономерности.

Определение 1.2. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого числа существует такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для всех номеров числовой последовательности выполняется условие .

Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся. В этом случае пишут .

Очевидно, для выяснения вопроса о сходимости числовой последовательности необходимо иметь критерий, который был бы основан только на свойствах ее элементов.

Теорема 1.1. (теорема Коши о сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы числовая последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа существовал такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для любых двух номеров числовой последовательности и , которые удовлетворяют условию и , было бы справедливо неравенство .

Доказательство. Необходимость. Дано, что числовая последовательность сходится, значит, в соответствии с определением 2, у нее существует предел . Выберем какое-то число . Тогда, по определению предела числовой последовательности, существует такой ее номер , что для всех номеров выполняется неравенство . Но так как произвольно, то будет выполняться и . Возьмем два каких-то номера последовательности и , тогда

Отсюда следует, что , то есть необходимость доказана.

Достаточность. Дано, что . Значит, существует такой номер , что для данного условия и . В частности, если , а , то или при условии, что . Это значит, что числовая последовательность для ограничена. Следовательно, по крайней мере, одна из ее подпоследовательностей должна сходиться. Пусть . Докажем, что сходится к также.

Возьмем произвольное . Тогда, согласно определению предела, существует такой номер , что для всех выполняется неравенство . С другой стороны, по условию дано, что у последовательности существует такой номер , что для всех и будет выполняться условие .