Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Теорема 1.2. Любая монотонно возрастающая ограниченная сверху числовая последовательность имеет предел.

Аналогичная теорема есть и для монотонно убывающей числовой последовательности.

2. Предел функции

При исследовании графиков различных функций можно видеть, что при неограниченном стрем

лении аргумента функции к какой-то величине, то ли конечной, то ли бесконечной, сама функция также может принимать ряд значений, неограниченно приближающихся к некоторой величине. Следовательно, для функции также можно ввести понятие предела.

Определение 2.1. Число называется пределом функции в точке , если для любого существует такое число , что из условия следует, что .

Данное условие записывается в виде: . Отметим, что интервал длины , который содержит в себе точку , называется -окрестностью точки .

Аналогичным образом вводится понятие предела функции и при стремлении к . Так же как и в случае числовой последовательности, для функции существует теорема Коши, которая определяет существование у нее предела.

Теорема Коши о существовании предела. Для того чтобы функция , где , имела предел при , где , необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое число , что из условия вытекало условие .

Доказательства теоремы приводить не будем. В качестве предела функции могут служить как конечные, так и бесконечные величины.

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в следующем. Возьмем некоторое , для которого . Тогда, согласно теореме, . Представим данное неравенство следующим образом: . Иначе говоря, как только станет отличаться от меньше, чем на , сама функция окажется в полосе шириной , расположенной на линии .

В приведенном определении предела и теореме Коши может стремиться к произвольным образом. Однако во многих случаях это стремление происходит с какой-то одной стороны. Для этого вводятся понятия односторонних пределов.

Определение 2.2. Если стремится к , оставаясь все время меньше его, и при этом стремится к , то это число называется пределом функции слева и обозначается .

 Скачать реферат