Разработка пакета прикладных программ для вычисления определителя матрицы

.

Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано в определении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.

Для произвольного данная теорема доказывается методом математической индукции.

Итак, показано, что определитель может бы

ть разложен по любой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовав произвольный столбец.

Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца (), для определителя -го порядка справедлива формула

,

называемая разложением этого определителя по -му столбцу.

Докажем теорему для :

.

Данное выражение равно величине определителя, введенной по определению.

Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисления определителя -го порядка необходимо его разложить по произвольной строке или столбцу.

Свойства определителей:

1. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный (свойство антисимметрии).

2. Определитель равен нулю, если все элементы какого-нибудь столбца равны нулю или если один из столбцов является линейной комбинацией любых его других столбцов (в частности, определитель, у которого хотя бы два столбца одинаковы, равен нулю).

3. Умножение всех элементов какого-нибудь столбца на скаляр k равнозначно умножению определителя на k (общий множитель элементов строки или столбца можно вынести за знак определителя).

4. Умножение матрицы n-го порядка на скаляр k соответствует умножению ее определителя на kn, т.е.

det(k[A]) = kndet[A].

5. Значение определителя не изменится, если к какому-нибудь столбцу прибавить другой столбец, умноженный на скаляр k.

6. Если два определителя одинаковых порядков различаются между собой только элементами j-го столбца, то их сумма равна определителю, элементы j-го столбца которого равны суммам соответствующих элементов j-х столбцов исходных определителей, а остальные элементы те же, что у исходных (свойство линейности).

Описание метода Крамера

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b1,b2, .,bn и x1,x2, .,xn, либо набор c1,c2, .,cn состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

1.2 Выбор инструментальных средств

Языки программирования – это формальные языки, специально созданные для общения человека с компьютером. Каждый язык программирования ровно как и «естественный» язык, имеет алфавит, словарный запас, свои грамматику и синтаксис, а так же семантику.

Взаимодействие синтаксических и семантических правил определяют те или иные понятия языка. В отличии от естественных языков правила грамматики и семантики для языков программирования, как и для всех формальных языков, должны быть ясно, однозначно и чётко сформулированы.

Целью данной курсовой работы является вычисление определителя матрицы произвольного порядка. Для этого рассмотрим некоторые языки программирования и выберем более удобный для нас.

Двоичный язык - в настоящее время программистами не применяется. Применение этого языка требует огромных затрат времени, является невероятно трудоемким процессом.

Шестнадцатеричный язык - упрощение за счет представления четырех двоичных цифр одной шестнадцатеричной. Используется в качестве дополнения к языкам высокого уровня для программирования критичных к времени выполнения фрагментов алгоритмов.

Язык Ассемблера - предназначен для представления в удобочитаемой символической форме программ, написанных на машинном языке. Используется для написания драйверов устройств, критических с точки зрения быстродействия, участков программ, а так же для написания стыковочных узлов (мостов) между модулями программы, написанной на двух разных языках.

Язык Макроассемблера - расширение языка Ассемблера. Позволяет определять и использовать новые, более мощные команды.

Язык Fortran на данный момент также используют в учебных целях. Встретить этот язык в применении почти не реально, так как он не очень удобен и, как следствие, не распространен.

Язык Basic разработан в 1964 г. для использования новичками. Basic широко используется в учебных заведениях для тренировки базовых навыков программирования у обучающихся. Он очень популярен и существует множество его диалектов, несовместимых между собой.

Язык VBA (Visual Basic for Application) используют для написания приложений, использующих графическую среду, в частности для приложений Microsoft Office, так как он является встроенным языком этих приложений.

И наконец Язык Cи, обладающий всеми необходимыми возможностями для решения поставленной задачи. Кроме того он был заложен в программу моего курса обучения и потому хорошо мне известен. Язык Си - это универсальный язык программирования, для которого характерны экономичность выражения, современный набор операторов и типов данных. Язык Си не является ни языком "очень высокого уровня", ни "большим" языком, и не предназначается для некоторой специальной области применения, но отсутствие ограничений и общность языка делают его для многих задач более удобным и эффективным, чем языки, предположительно более мощные.

Язык Си является универсальным языком программирования. Сам язык, однако, не связан с какой-либо одной операционной системой или машиной; и хотя его называют языком системного программирования, так как он удобен для написания операционных систем, он может использоваться для написания любых больших вычислительных программ, программ для обработки текстов и баз данных.

 Скачать реферат