Решение задач по высшей математике

Найти:

- длину стороны АВ

- уравнение стороны АВ

- уравнение медианы АD

- уравнение высоты СЕ

- уравнение прямой, проходящей через вершину С, параллельно стороне АВ

- внутренний угол при вершине А

- площадь треугольника АВС

- координаты точки Е

- сделать чертеж

Решение:

1. Длина стороны АВ:

½АВ½= » 5,385

2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

; ;

у = - уравнение прямой АВ, угловой коэффициент k­­AB= 2/5

3. Медиана АD делит сторону ВС, противоположную вершине А, пополам.

Координаты середины ВС:

х4 = (х2 + х3)/2 = 3,5, у4 = (у2 + у3)/2 = 3

D (-3,5;3)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, А и D:

; -5,5у = -16,5

у = 3- уравнение прямой АD

3. Высота СЕ перпендикулярна АВ, а значит угловой коэффициент высоты СЕ равен

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х3¸у3) и имеющей угловой коэффициент kСЕ, имеет вид:

у – у3 = kСЕ (х – х3); у – 5 = -2,5(х+4)

у = -2,5х -5 – уравнение высоты СЕ.

5. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Уравнение прямой, проходящей через точку С (х3¸у3) и имеющей угловой коэффициент kАВ, имеет вид:

у – у3 = kАВ (х – х3); у – 5 = х +,

у = х +, - уравнение прямой, параллельной АВ.

6. Косинус внутреннего угла при вершине А вычисляется по формуле:

, где

- длины сторон АВ и АС соответственно.

,

ÐА = arc cos 0,7643 = 40о9'

7. Площадь треугольника АВС вычисляется по формуле:

S = ½ç(x2 – x1)(y3 – y1) – (x3 – x1)(y­2 – y1)ç;

S= ½ ç(-5)·2 – (-2) ·(-6)ç = 22/2 = 11 кв.ед.

8. Координаты точки Е находим, решая совместно уравнения АВ и СЕ, т.к точка Е принадлежит им обоим:

у = -2,5х -5

у =

0,4х +2,2 = -2,5х -5 2,9х = -7,2 х = -2,5

у = 6,25 – 5 = 1,25 Е(-2,5;1,25)

Задача 40

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Построить кривую.

у2 + 2x - 2y -1 = 0

Решение:

Выделяем полные квадраты:

у2- 2у +1 + 2х- 2 = 0

(у - 1)2 = -2(х - 1)

(х - 1) =-1/2(у - 1)2 – это уравнение параболы с центром в точке (1,1), ось симметрии – прямая

у = 1, ветви параболы направлены влево.

Задача 50

Вычислить пределы.

1)

2)

3)

4)

так как -первый замечательный предел

5) , (a>0)

Обозначим х-а = t. Если х→а, то t→0, х = t+a, ln x-ln a =

где -– второй замечательный предел.

Задача 60

Найти производные функций:

1) y =

y¢ =

2) у =

3) y =

y¢ =

4) y = ctg(excosx);

y¢=

Задача 70

Провести полное исследование функции и построить ее график.

у = ;

Решение:

1. Область определения функции: х Î (-¥; +¥).

2. Поведение функции на границах области определения:

3. у¢= х3 – х2 = х2(x-1); у¢= 0, если х1 = 0, х2 = 1;

При х Î (-¥; 0), у¢< 0, функция убывает.

При х Î (0;1), у¢< 0, функция убывает.

В точке х = 0 экстремума нет.

При х Î (1;+∞), у¢> 0, функция возрастает.

В точке х =1 функция имеет локальный минимум.

4. уmin = 1/4 - 1/3 = - 1/12.

5. Выпуклость, точки перегиба графика функции:

у²= 3х2 – 2х = x(3x-2).

у²= 0, если 2х(6х -1) = 0, х1 = 0, х2 = 2/3;

При х < 0, у²> 0, график вогнутый.

При 0 < х < 2/3, у²< 0, график выпуклый.

При х > 2/3, у²> 0, график вогнутый.

Точки х1 = 0 и х2 = 2/3 - точки перегиба графика функции.

у(0) = 0, у(2/3 ) » -0,05

6. Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ. у = 0, = 0 х1 = 0, x2 = 4/3

С осью ОУ. х = 0, у= 0.

Задача 80

Найти частные производные первого и второго порядка функций.

z = x2∙sin y + y2∙cos x;

Решение:

 Скачать реферат