Решение задач по высшей математике

=.

Задача 90

Дана функция. Показать, что

Решение:

=

=

=-= 0, что и требовалось доказать.

Задача 100

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x3 + 8y3 -6xу+1 в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.

Решение:

1. Ищем точки экстремумов внутри замкнутой области:

3x2 = 6y, y =

24y2 = 6x,

x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = ½

Точка О(0,0) и точка N (1, ½)

2. Ищем точки экстремумов на границах области:

а) сторона АВ: х= 0, -1 £ у £ 1, z = 8у3+1;

24у2, z¢ = 0, если у = 0, точка (0,0).

б) сторона ВС: у = 1, 0 £ х £ 2, z = х3 – 6х+9;

3х2 - 6 = 0, х2 = 2 х = ±»±1,4, точка х = -1,4 в замкнутую область не входит.

х = 1,4 , – точка К (1,4;1)

в) Сторона CD: х = 2, -1 £ у £ 1,

z = 8 + 8у3- 12у+1 = 8у3- 12у+9;

2у2 = 1, у = - точки M(2;0,7) и Q(2;-0,7)

г) сторона АD: у = -1, 0 £ х £ 2, z = х3 + 6х-7;

3х2 + 6 ≠ 0, при любых значениях х.

2. Вычислим значения функции Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.

ZA = Z(0,-1) = -8+1=-7;

ZB = Z(0,1) = 8+1=9;

ZC = Z(2,1) = 8+8-12+1=5;

ZD = Z(2,-1) = 8-8+12+1=13;

ZK = Z(,1) = 2,8+8-8,4+1=3,4;

ZO = Z(0,0) = 1;

ZM = Z(2,0.7) = 8+2,7-8,4+1=3,3;

ZN = Z(1,) = 0;

ZQ = Z(2,-0.7) = 8-2,7+8,4+1=14,7;

Zmin = -7, Zmax = 14,7.

Задача 110

Найти формулу вида y = ax + b методом наименьших квадратов по данным опыта (таблицы):

Решение:

Метод наименьших квадратов дает систему двух линейных уравнений для определения параметров ”a” и “b”:

Подсчитаем суммы:

1+2+3+4+5=15 1+4+9+16+25 = 55

4,8+5,8+4,3+2,3+2,8=20 1·4,8+2·5,8+3·4,3+4·2,3+5·2,8 = 52,5

Подставляем значения сумм в систему уравнений:

52,5 -55a -15b = 0

20 – 15a – 5 b = 0 (*3)

a = -0.75

20 – 15·(-0.75) = 5b; b = 31,25 : 5 = 6,25

Искомая формула: y = -0,75x + 6,25.

Задача 120

Вычислить неопределенные интегралы:

1)

2)

3)

4) ; Подстановка: t = tg t; x = arctg t,

dx =

5) Подстановка:

Задача 130

Вычислить площадь, ограниченную заданными линиями:

у = х2­­­­­­­­­, y = 2- x2

Решение:

S =

 Скачать реферат