Предельные точки

Теорема 2. Пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто.

Доказательство. Пусть и все замкнуты. Если и , то все h=53 height=24 src="images/referats/11748/image131.png">при любом , а потому и при любом . Следовательно, , и замкнуто.

В дальнейшем важную роль будет играть операция замыкания произвольного множества , заключающаяся в присоединении к множеству пределов всех сходящихся последовательностей его точек. Получаемое таким образом множество обозначается и называется замыканием множества .

В замыканием интервала , будет отрезок . Однако в произвольном метрическом пространстве для замыкания открытого шара имеет место лишь включение , но равенство вовсе не обязательно.

Лемма 1: всякая точка представима в виде , где .

Лемма 2: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было , существовала такая точка , что .

Теорема 3. Замыкание любого множества замкнуто.

Теорема 4. Замыкание есть наименьшее замкнутое множество, содержащее .

Пусть . Если к множеству добавить все его предельные точки, то получим множество, называемое замыканием и обозначим его так: .

У замкнутого множества предельных точек, не принадлежащих ему, нет. В самом деле, любая точка есть внутренняя точка множества . Таким образом, если — замкнутое множество, то .

Точка называется точкой сгущения множества M, если в каждой ее окрестности содержится хоть одна точка множества M, отличная от .

Точки сгущения для открытой области, не принадлежащие ей, называются пограничными точками этой области. Пограничные точки в их совокупности образуют границу области. Открытая область вместе с границей называется замкнутой областью. Напомню, что открытой областью называется множество, целиком состоящее из внутренних точек.

3. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве

Пусть функция задана на множестве . Говорят, что она не­прерывна в точке на множестве , если для любой последовательности точек , сходящейся к .

Заметим, что согласно данному определению любая функция, опре­деленная на , непрерывна в изолированных точках .

Точка называется изолированной, если существует шарик с центром в , не содержащий в себе других точек , кроме . Поэтому если задано, что и , то это может быть, лишь если для некоторого будет для всех , но тогда

. (1)

Если функция , определенная на , непрерывна в любой точ­ке , то говорят, что непрерывна на .

Докажем две теоремы, выражающие замечательные свойства функ­ций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве; они обобща­ют соответствующие свойства непрерывных функций от одной перемен­ной, заданных на отрезке.

Теорема 1. Функция , непрерывная на замкнутом ограни­ченном множестве , ограничена на нем.

Доказательство. Допустим, что она не ограничена на ; тогда для любого натурального к найдется такая точка , что

 Скачать реферат