Предельные точки

Мы получили бы последовательность точек , . Но по условию замкнуто, и потому. Мы получили противоречие с тем, что предполагалось, что .

Обратно, если — открытое множество, то — замкнутое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы последова­тельность точек ,и . Но — открытое множество, и можно покрыть шаром с центром в ней, полностью при­надлежащим . Получилось противоречие с тем, что любой такой шар содержит точки .

Пример 3. Пусть — непрерывная функция. 1) множество замкнуто, а открыто. 2) множество замкнуто, а открыто.

Если задано произвольное непустое множество , отличное от , то можно представить в виде суммы трех непересекающихся попарно множеств:

,

где — совокупность внутренних точек — это открытое ядро , — совокупность внутренних точек — это открытое ядро , — совокупность точек, каждая из которых не есть внутренняя для , но и не есть внутренняя для . Такие точки называются граничными точками , а называется границей ; открыто, открыто, +тоже открыто, =замкнуто.

Таким образом, граница есть замкнутое множество.

Любую граничную точку множества можно определить как такую точку , что любой шар с центром в ней содержит как точки , так и точки . Сама точка может принадлежать и не принадлежать .

Пустое множество считается одновременно замкнутым и открытым.

Любое из множеств , входящих в теоретико-множественную сумму (1), может оказаться пустым.

Пример 4. Пусть ; тогда , — открытое ядро, — открытое ядро ,— граница (не принадлежит ).

Пример 5. — множество точек с рациональными координатами. — открытое ядро — пустое множество, — открытое ядро — пустое множество, — граница .

В следующих двух теоремах устанавливаются основные свойства замкнутых множеств. При этом рассматриваются множества, содержащиеся в одном и том же метрическом пространстве .

Теорема 1. Сумма конечного числа замкнутых множеств также – замкнутое множество.

Доказательство. Так как сумму любого конечного числа множеств можно образовать последовательным прибавлением по одному множеству, то достаточно доказать теорему для суммы двух множеств.

Пусть и - замкнутые множества, и . В последовательности существует бесконечная частичная последовательность , состоящая целиком из точек одного из данных множеств, например . Но тоже стремится к , и так как замкнуто, то , а потому .

 Скачать реферат