Плоские кривые

II. способ

Приведём уравнение к каноническому виду

, , следовательно, Строим осевой прямоугольник, а затем изображаем гиперболу.

Параллельный перенос гиперболы преобразует уравнение к виду:

(5) (или (6)).

Рассмотрим способ построения гиперболы по уравнению данного вида.

б) . Преобразуем его к виду (5) и далее: Это уравнение гиперболы, где Осевой прямоугольник со сторонами смещён на две единицы вверх и вправо. Строим его и изображаем гиперболу.

II способ.

Приводим уравнение к каноническому виду:

, следовательно,

Центр осевого прямоугольника – точка (2; 2).

Строим его и изображаем гиперболу.

2) Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих гипербол:

а)

.

Привели к каноническому виду, а следовательно а = 2, b = 3.

F1 и F2 имеют координаты: F1(– с; 0), F2(с; 0).

Таким образом, F1(; 0), F1(; 0).

Ответ: а = 2, b = 3, F1(; 0), F1(; 0).

б)

Используя каноническое уравнение, получим:

.

Мы знаем, что F1(– с; 0), F2(с; 0),

Итак, , F1(; 0), F1(; 0).

в)

,

F1(– с; 0), F2(с; 0):

Ответ: F1(; 0), F1(; 0).

3) Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами равно 10;

Итак, нам дано, что Находим, что .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид Т. к. , то уравнение можно записать следующим образом:

4) Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему координат, построить области, определяемые следующими системами неравенств:

а)

построим множество точек, определяемых 1-м и 2-м неравенствами. Найдём пересечение этих множеств.

I. Построим гиперболу . После преобразования получаем каноническое уравнение с полуосями а = 2 и b = 1. Точки гиперболы не принадлежат искомой области, т. к. неравенство строгое. Это неравенство определяет внутренние точки гиперболы. Строим осевой прямоугольник, гиперболу и изображаем искомую область.

II. Строим множество точек. Заданных вторым неравенством. Для этого изображаем прямую и штрихуем определяемую область.

Построение.

б)

Построим множество точек, определяемых 1-м, 2-м. 3-м неравенствами. Найдём пересечение этих множеств.

I. построим гиперболу . Её точки принадлежат искомой области, т. к. неравенство не строгое. Т. о. Неравенство определяет внешние точки гиперболы. Преобразуем уравнение. это уравнение гиперболы, где , точки которой не принадлежат искомой области (неравенство строгое), строим осевой прямоугольник со сторонами и изображаем гиперболу.

II. Строим множество точек, заданных вторым неравенством. Для этого изображаем прямую и штрихуем определяемую область.

III. Рассуждаем аналогично. строим прямую и штрихуем определяемую область.

Построение.

7. Эксперимент

Некоторые практические материалы. Предложенные в гл. II проверены экспериментально в 10–11 классах ГОУ СОШ с. Новкус-Артезиан.

Тема эксперимента: «Различные уравнения эллипса, гиперболы, параболы и их графики».

Эксперимент проводился в два этапа.

I этап эксперимента.

До изложения теории о линиях второго порядка (до Темы 1) предлагались задания на проверку уровня знаний учащихся о знакомых им линиях второго порядка.

 Скачать реферат