Численные методы

Рефераты / Математика / Численные методы

. (49)

Необходимо, чтобы каждый многочлен li(x) обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением i-го, в котором он равен 1 (Рис. 12). Если li(x) удовлетворяет таким условиям, то в i-ом узле интерполяции многочлен Ln(x) примет значение yi, что

удовлетворяет условию поставленной задачи. Таким условиям удовлетворяет многочлен вида:

. (50)

Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа можно представить следующей общей формулой:

(51)

С использованием формулы (51) построим блок-схему алгоритма метода интерполяции функции полиномом Лагранжа.

Аппроксимация

В задачу аппроксимации входит нахождение такой функции y=f(x), что расстояния между заданными точками yi и значениями f(xi) были минимальными (Рис. 13). Обозначим отклонение:

εi=yi-f(xi)

В качестве оценки общего отклонения кривой f(x) от табличных данных (Табл. 1) можно было бы взять сумму отклонений εi, но отклонения могут быть разными по знаку и, не смотря на большие εi их сумма может быть близка к нулю. Очевидно, что необходимо брать сумму абсолютных значений отклонений, но на практике неудобно пользоваться этой функцией, поэтому в качестве критерия оценки отклонения кривой берут сумму квадратов отклонений:

. (52)

Для определения функции f(x) необходимо, во-первых, задать её общий вид, например, f(x)=ax+b, во-вторых, подставив f(x) в (52) и минимизировав σ, найти коэффициенты (a и b). Такой метод определения коэффициентов для функции f(x) называется методом наименьших квадратов. Наиболее часто встречающиеся виды функции f(x) для метода наименьших квадратов приведены в таблице 2. Формула y=f(x) называется эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x.

Таблица 2

Общий вид функции	Аналитическая формула	Вид регрессии
y=f(x,a,b)	y=ax+b	линейная
y=f(x,a,m)	y=axm	степенная
y=f(x,a,m)	y=aemx	показательная
y=f(x,a,b)		дробно-линейная
y=f(x,a,b)		логарифмическая
y=f(x,a,b)		гиперболическая
y=f(x,a,b)		дробно-рациональная

Рассмотрим подробнее метод наименьших квадратов на примере линейной регрессии, т.е. общий вид функции такой: f(x)=ax+b. Требуется найти методом наименьших квадратов коэффициенты a и b. Для определения минимального σ необходимо приравнять нулю частные производные этой функции по параметрам a и b. Для случая линейной регрессии формула (52) приводится к следующему виду:

. (53)

Условие экстремума запишется так:

. (54)

Отсюда получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

(55)

(56)

(57)

Итак, коэффициенты линейной регрессии вычисляются по формулам (57), но для определения параметров других видов регрессии выводить аналогичные формулы необязательно. Можно воспользоваться уже полученными. Для этого будем приводить все виды регрессии к линейному виду.

Степенная регрессия

Прологарифмируем степенную зависимость при условии, что x>0 и a>0.

В общем виде линейную зависимость будем записывать так:

Y=AX+B. (58)

Для линейной регрессии Y=y A=a, X=x, B=b. Для регрессии степенной:

То есть для того, чтобы воспользоваться формулами (57) необходимо вместо подставлять , вместо – . Тогда по первой формуле определяющей значение параметра A получим значение m, а по второй – значение . Следовательно, остаётся небольшое преобразование для получения a: .