Типовой расчет

Воспользуемся признаком Даламбера.

,

Тогда,

Так как , то ряд сходится. Значит, исходный ряд сходится по теореме о сравнении рядов.

Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на сходимость

Решение.

Преобразуем n – член этого ряда.

Сравним ряд с рядом , пользуясь предельным признаком сравнения:

,

Тогда,

Поскольку А = 1 (0<A<+∞) – действительное число. Следовательно, ряды либо сходятся, либо расходятся. Ряд - является рядом Дирихле. Так как α = 3 > 1, то данный ряд сходится. Следовательно, и сравниваемый ряд тоже сходится.

Ответ: ряд сходится.

5. Исследовать ряд на сходимость

Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера.

,

Находим m по формуле:

Тогда:

Так как , то ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

6. Исследовать ряд на сходимость

Решение.

Рассмотрим ряд

.

Поскольку при :

Воспользуемся признаком Даламбера.

,

Находим m по формуле:

Тогда:

Так как , то ряд сходится.

Согласно признаку сравнения сходится и ряд .

Ответ: ряд сходится.

7. Вычислить сумму ряда с точностью α

α. = 0,001.

Решение.

Прежде чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим исходный ряд на сходимость.

- числовой знакочередующейся.

Воспользуемся признаком Лейбница:

1)

2)

Следовательно, ряд условно сходится.

Проверим абсолютную сходимость ряда . Рассмотрим ряд .

Воспользуемся признаком Даламбера:

,

Находим m по формуле:

Тогда:

Следовательно, ряд

сходится абсолютно.

Вычисляем члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь член ряда по модулю не будет меньше α. = 0,001:

а1 = -1,5 а2 = 0,1042 а3 = - 0,0016 а4 = 0,0000093

Для приближённого вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию признака Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не превышает его первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит 0,0000093, а, значит, и . Требуемая точность достигнута.

Следовательно:

.

Ответ: .

8. Найти область сходимости функционального ряда

Решение.

Рассмотрим два интервала:

1)

Проверим необходимый признак сходимости рядов:

Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится.

2) , то есть

Проверим необходимый признак сходимости рядов:

Необходимый признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится.

 Скачать реферат