Связь математики с музыкой

План:

1. Введение

2. Историческая справка

3. Некоторые понятия теории музыки

4. Математическое описание построения музыкальной гаммы

5. Приемы дирижирования

6. Заключение

7. Библиография

Введение

"Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах

человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства."

Г. Нейгауз

Математика и музыка - два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.

I. Историческая справка

1. Открытие Пифагора в области теории музыки

Суть его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

2. Что определяет консонанс

Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струны (в музыке это явление называют консонансом). Ясность в этот вопрос внес Архит (IV в. до н.э.), который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе натяжения, а в скорости ее движения, т.е. скорости ударения струны по частичкам воздуха.

Сегодня эта "скорость движения" носит название частоты колебания струны. Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна ее длине.

3. Законы пифагорейской музыки

В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы:

1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.

2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .

w = a : l ,

где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

II. Некоторые понятия теории музыки

1. Гаммой, или звукорядом, называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке.

2. Интервалом между тонами называется порядковый номер ступени верхнего тона относительно нижнего в данном звукоряде.

Интервальным коэффициентом двух тонов считают отношение частоты колебаний верхнего тона к частоте колебаний нижнего:

w1 : w2.

Некоторые интервальные коэффициенты и соответствующие им интервалы в средние века были названы совершенными консонансами и получили следующие названия:

октава ( w2 : w1 = 2 : 1, l2 : l1 = 1 : 2);

квинта ( w2 : w1 = 3 : 2, l2 : l1 = 2 : 3);

кварта ( w2 : w1 = 4 : 3, l2 : l1 = 3 : 4).

3. Тоника – основной наиболее устойчивый тон в гамме. С него начинается данная музыкальная система.

Лад – приятная для слуха взаимосвязь музыкальных звуков, определяемая зависимостью неустойчивых звуков от устойчивых и имеющая определенный характер звучания.

Музыкальный строй – математическое выражение системы звуковысотных соотношений – лада.

III. Математическое описание построения музыкальной гаммы

1. Основой музыкальной шкалы–гаммы пифагорейцев был интервал – октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, гармоническим.

Среднее арифметическое частот колебаний тоники (w1) и ее октавного повторения (w2) помогает найти совершенный консонанс квинту.

Т.к. w2 = 2w1, то w3 = (w1 + w2) : 2 = 3w1 : 2 или w3 : w1 = 3 : 2 (w3 – частота колебаний квинты).

Длина струны l3, соответствующая квинте, по второму закону Пифагора-Архита будет средним гармоническим длин струн тоники l1 и ее октавного повторения l2.

Т.к. l2 = l1 : 2, то l3 = 2 l1 l2 : (l1 + l2) = 2 l1 l1 : 2 : (l1 + l1 : 2) = l12 : ((2 l1 + l1 ) : 2) = 2 l12 : :3 l1 = 2 l1 : 3; или l3 : l1 = 2 : 3.

Взяв далее среднее гармоническое частот основного тона w1 и октавы w2, получим w4 = = 2w1w2 : (w1 + w2 ) = 2w1 2w1 : ( w1 + 2w1 ) = 4w12 : 3w1 = 4w1 : 3.

Значит w4 : w1 = 4 : 3. В результате находим еще один совершенный консонанс – кварту.

Определим, как связаны длины струн найденных частот (l4 и l1 ):

l4 = ( l1 + l2 ) : 2 = ( l1 + l1 : 2 ) : 2 = ( 2 l1 + l1 ) : 2 : 2 = 3 l1 : 4; l4 : l1 = 3 : 4.

Это значит, что длины струн l1 , l2 и l4 связаны между собой средним арифметическим.

Итак, частота колебаний квинты является средним арифметическим частот колебаний основного тона w1 и октавы w2 , а частота колебаний кварты - средним гармоническим w1 и w2 . Или иначе: длина струны квинты есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2, а длина струны кварты – среднее арифметическое l1 и l2. Это лишь незначительная часть тех прекрасных пропорций, которые были воплощены в пифагорейской музыкальной гамме.

2. У древних греков существовал и другой способ построения музыкальной гаммы, кроме описанного выше. Он был более простым и удобным и до сих пор применяется при настройке музыкальных инструментов.

Оказывается, гамму можно построить, пользуясь лишь совершенными консонансами - квинтой и октавой. Суть этого метода состоит в том, что от исходящего звука, например "до" (3/2)0 = 1, мы движемся по квартам вверх и вниз и полученные звуки собираем в одну октаву. И тогда получаем: (3/2)1= 3/2 - соль, (3/2)2:2 = 9/8 - ре, (3/2)3:2 =27/16 - ля, (3/2)4:22 = 81/64 - ми, (3/2)5: 22 = 243/128 - си, (3/2)-1:2 =4/3 - фа. (Все математические расчеты выполняем на компьютере, используя программу “Калькулятор”.)

Воспользуемся возможностями компьютера, точнее текстового процессора MS Word:

 Скачать реферат