Связь математики с музыкой

Органы, настроенные А. Веркмайстером, зазвучали в равномерно-темперированном строе. Преимущества нового строя были бесспорными. Строй носил замкнутый характер и состоял из интервалов, вполне приемлемых для музыкального слуха как в мелодическом, так и в гармоническом отношении. В нем совершенно спокойно можно было осуществлять переходы из тональности в тональность. И.С.Бах доказал жизнеспособнос

ть новой музыкальной системы, написав "Хорошо темперированный клавир", состоящий из 12 мажорных и 12 минорных произведений. Авторитет великого композитора примирил споры математиков и музыкантов, выступавших "за" или "против" нового музыкального строя.

История создания равномерной темперации еще раз свидетельствует о том, как тесно переплетаются судьбы математики и музыки. Рождение нового музыкального строя не могло произойти без изобретения логарифмов и развития алгебры иррациональных величин. Без знания логарифмов провести расчеты равномерно-темперированного строя было бы невозможно. Логарифмы стали своеобразной "алгеброй гармонии", на которой выросла темперация.

Уже в нашем веке появлялись попытки усовершенствования равномерно-темперированного строя. Не надо забывать, что в его основу положены частоты, выражающиеся приближенными значениями чисел. А приближенное значение иррационального числа всегда определяется с заданной степенью точности. В музее музыкальной культуры можно увидеть музыкальные инструменты, в которых число ступеней в октаве значительно больше двенадцати. Были попытки создания инструментов с числом ступеней в октаве 24, 48, 53 для того, чтобы получить интервалы, наиболее близкие к чистым. В музыкальной практике, однако, такие инструменты не использовались.

Итак, в математическом построении 12 мажорных и 12 минорных тональностей совершенно тождественны. А как в звучании? Конечно, каждая из тональностей обладает своим неповторимым музыкальным оттенком. Можно провести своего рода эксперимент для произведения разных тональностей, определяя характер их звучания и музыкальные характеристики. Слушая сонату Л.Бетховена "Аврора", написанную в до мажоре, чувствуем в музыке светлое, солнечное, спокойное настроение. Тональности ми мажор (романс П.И.Чайковского "День ли царит") присуще взволнованное, страстное переживание. Считается, что тональность фа-диез мажор ("Весной" Э.Грига) используется для выражения радостно возвышенных чувств. А тональности до минор ("Похоронный марш" из Героической симфонии Л.Бетховена) и ми-бемоль минор (романс Полины из оперы П.И.Чайковского "Пиковая дама") чаще других помогают композитору выразить глубокое трагическое состояние.

Итак, было рассмотрено математическое описание музыкальной гаммы - основы создания любого музыкального произведения. В построении музыкального строя чувствуются математическая точность и гармония. Известны и другие случаи использования математических методов в анализе музыкальных произведений. В частности, золотое сечение может быть применено к анализу построения музыкальных фрагментов. О золотом сечении говорилось в статье "Как скульптор Поликлет решал задачи" ("УГ", N 48, 1996═г.).

Приемы дирижирования

Под дирижированием, в широком смысле этого слова, подразумевается управление исполнением музыкального произведения хором, оркестром или другими крупными ансамблями.

В применении к пению или сольфеджио под дирижированием подразумевается средство: во-первых, счета, то есть указания времени продолжительности и смены долей такта; во-вторых, установления темпа для данного произведения.

В основу приемов дирижирования положены двухдольные, трехдольные и четырехдольные фигуры взмахов. Они заключаются в следующем (все схемы даны для правой руки):

А) Все простые двухдольные размеры движутся двумя взмахами – вниз и вверх:

Примечание: начало каждой доли такта наступает момент окончания взмаха. В опорной точке движения

Б) Все простые трехдольные размеры дирижируются тремя взмахами – вниз, вправо и вверх

В) Четырехдольные размеры - четырьмя взмахами – вниз, влево, вправо, вверх:

Г) Шестидольные размеры дирижируются шестью взмахами. В основе приема лежит четырехдольная фигура, в которой удваиваются движения вниз и вправо:

Д) Девятидольные размеры дирижируются девятью взмахами. В основе приема лежит трехдольная фигура, в которой утраиваются все взмахи:

В быстром темпе девятидольные размеры дирижируются как простые трехдольные размеры, по три доли на взмах.

Е) Двенадцатидольные размеры дирижируются двенадцатью взмахами. В основе приема лежит четырехдольная фигура взмахов. Каждое направление движения соответствует простому такту. Каждый взмах этой фигуры устроен:

IV. Заключение

Музыковед Э.Розенов, проанализировав наиболее популярные и любимые произведения гениальных композиторов И.С.Баха, В.А.Моцарта, Л.В.Бетховена, Ф.Шопена, Р.Вагнера, М.И.Глинки, а также произведения народного творчества древнего происхождения, заметил, что моменты наиболее ярко выраженного эмоционального напряжения приходятся именно на точки золотого сечения. Искусствоведы составили подробные схемы, в которых содержится геометрический анализ великой музыки. Наиболее удачным в этом отношении примером является Хроматическая фантазия и Фуга ре минор И.С.Баха. Слушая это замечательное произведение, не только восторгаешься красотой музыки, но и чувствуешь ее скрытую музыкальную гармонию. А математика открывает еще одну грань гениальности великого композитора.

Этот рассказ о связи математики, техники и музыки далеко не полный. В истории культуры достаточно много примеров, когда люди придумывали механические устройства для сочинения музыки. Это происходило и в средние века, и в наше время. Математик из колумбийского университета Дж. Шиллингер в 1940 году опубликовал разработанную им математическую систему музыкальной композиции в виде отдельной книжечки под названием "Калейдофон". Считают, что Дж.Гершвин, работая над оперой "Порги и Бесс", пользовался той же системой. В 1940 году Эйгор Вилли Лобос, используя описанный способ, превратил силуэт Нью-Йорка в пьесу для фортепиано.

Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его создателя. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом .

 Скачать реферат