Представление функции рядом Фурье

Оглавление

Введение

Определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье

Ортогональные системы функций

Интеграл Дирихле Принцип локализаци

Представление функций рядом Фурье

Случай непериодической функции

Случай произвольного промежутка

Случай четных и нечетных функций

Примеры разложения функций в ряд Фурье

Список использованной литературы

Введение

В науке и технике часто приходиться иметь дело с периодическими явлениями, т. е. такими, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени Т, который называется периодом. Например, движение паровой машины повторяется, после того как пройдет полный цикл. Различные величины, связанные с периодическим явлением, по истечении периода Т возвращаются к своим прежним значениям и представляют собой периодические функции от времени t с периодом Т.

Если не считать постоянной, то простейшей периодической функцией является синусоидальная величина: , где есть частота, связанная с периодом Т соотношением:

.

Из подобных простейших периодических функций могут быть составлены и более сложные. Ясно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, иначе их сложение не дает ничего нового, а вновь приводит к синусоидальной величине, причем той же частоты. Если же сложить величины вида:

(1)

которые имеют разные частоты

,

то получится периодическая функция, но уже существенно отличающаяся от величин, входящих в сумму.

Рассмотрим для примера сложение трех синусоидальных величин:

На рисунке мы видим, что график функции полученной в результате сложения трех синусоидальных величин (показан сплошной линией) уже значительно отличается от синусоиды. В большей степени это имеет место для суммы бесконечного ряда величин вида (1).

Теперь возникает обратный вопрос: можно ли данную периодическую функцию представить в виде суммы конечного или бесконечного множества синусоидальных величин вида (1).

Как будет показано ниже, на этот вопрос можно ответить удовлетворительно, но только лишь используя бесконечную последовательность величин вида (1). Для функций некоторого класса имеет место разложение в «тригонометрический ряд»:

(2)

С геометрической точки зрения это означает, что график периодической функции получается путем наложения ряда синусоид. Если же каждую синусоидальную величину истолковать механически как представляющую гармонические колебательные явления, то можно сказать, что здесь сложное колебание разлагается на отдельные гармонические колебания. Исходя из этого, отдельные синусоидальные величины, входящие в состав разложения (2), называют гармоническими составляющими функции или просто ее первой, второй и т. д. гармониками. Сам же процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гармонического анализа.

Если за независимую переменную выбрать

,

то получиться функция, зависящая от х, так же периодическая, но уже со стандартным периодом Разложение (2) в этом случаи примет вид:

(3)

Теперь развернув члены этого ряда по формуле синуса суммы и обозначив

мы придем к окончательной форме тригонометрического разложения:

(4)

В данном разложении функция от угла х, имеющая период разложена по косинусам и синусам углов, кратных х.

Мы пришли к разложению функции в тригонометрический ряд, отправляясь от периодических, колебательных явлений и связанных с ними величин. Подобные разложения часто оказываются полезными и при исследовании функций, заданных в определенном конечном промежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями.

Определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье.

В предыдущем параграфе было сказано, что существует ряд функций, которые можно представить в виде бесконечного тригонометрического ряда. Для того, что бы установить возможность разложения некоторой функции , имеющей период в тригонометрический ряд вида:

(4)

нужно иметь набор коэффициентов

Прием для нахождения этих коэффициентов во второй половине XVIII века был применен Эйлером и независимо от него в начале XIX века—Фурье.

Впредь будем предполагать функцию непрерывной или кусочнонепрерывной в промежутке .

Допустим, что разложение (4) имеет место. Проинтегрируем его почленно от до ; в результате получим:

Но, как легко видеть,

(5)

Поэтому все члены под знаком суммы будут равняться нулю, и окончательно получаем

(6)

Для того чтобы найти значение коэффициента , умножим обе части равенства (4) на и снова проинтегрируем почленно в том же промежутке:

 Скачать реферат