Представление функции рядом Фурье

отличное как от , так и от . Для такой функции разложение имеет место лишь в открытом промежутке .

Следующее замечание так же заслуживает особого внимания. Если тригонометрический ряд

1 height=45 src="images/referats/7495/image143.png">

сходится в промежутке к функции , то ввиду того, что его члены имеют период , он сходится всюду, и сумма его тоже оказывается периодической функцией с периодом . Но эта сумма вне указанного промежутка вообще уже не совпадает с функцией .

Случай произвольного промежутка

Предположим, что функция задана в промежутке произвольной длины и кусочно-дифференцируема в нем. Если прибегнуть к подстановке

,

то получится функция от в промежутке , тоже кусочно-дифференцируемая, к которой уже приложим рассмотрения предыдущего параграфа. Как мы видели, за исключением точек разрыва и концов промежутка, можно разложить ее в ряд Фурье:

коэффициенты которого определяются формулами Эйлера—Фурье:

вернемся теперь к прежней переменной , полагая

.

Тогда получим разложение заданной функции в тригонометрический ряд несколько измененного вида:

(19)

Здесь косинусы и синусы берутся от углов, кратных не , а . Можно было бы и формулы для определения коэффициентов разложения преобразовать той же подстановкой к виду

(20)

В отношении концов промежутка сохраняют силу замечания, сделанные в предыдущем параграфе относительно точек Конечно, промежуток может быть заменен любым другим промежутком длинны в частности, промежутком . В последнем случае формулы (20) должны быть заменены формулами

(20a)

Случай четных и нечетных функций

Если заданная в промежутке функция будет нечетной, то очевидно

В этом легко убедится:

.

Таким же путем устанавливается, что в случае четной функции :

.

Пусть теперь будет кусочно-дифференцируемая в промежутке четная функция. Тогда произведение окажется нечетной функцией, и по сказанному

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:

(21)

Так как в этом случае будет тоже четной функцией, то, применив сюда второе из сделанных выше замечаний, можем коэффициенты разложения написать в виде

(22)

Если же функция будет нечетной, то нечетной будет и функция , так что

Мы приходим к заключению, что ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь синусы:

(23)

При этом ввиду четности произведения можно писать:

(24)

Отметим, что каждая функция , заданная в промежутке , может быть представлена в виде суммы четной и нечетной составляющих функций:

,

Где

Очевидно, что ряд Фурье функции как раз и составится из разложения по косинусам функции и разложения по синусам функции .

 Скачать реферат