Оптимизация многомерной нелинейной функции. Слепой поиск

Аннотация

Данный курсовой проект на тему «Оптимизация многомерной нелинейной функции. Слепой поиск». Необходимо было разработать программную модель числового метода поиска экстремума функции двух переменных. Предусмотреть ввод исходных данных и вывод с сохранением. Исследовать ограничения на вводимую функцию, обусловленные методом поиска и средствами моделирования.

Проект содер

жит 24 листа, включая приложение, листинг программы и таблицу – 1.

Введение

Прикладные науки развиваются своим путем, используя существующий математический аппарат для решения возникающих проблем, и даже своими потребностями стимулируют в развитие некоторых разделов математики. Но в них нередко царят своя терминология, свои частные приемы решения задач, свои исходные предпосылки и цели. Имеют место ситуации, когда некорректно примененные прикладниками методы, тем не менее, позволяют получать полезные практические результаты. Дисциплина «Математическое моделирование» давно сформировалась, как прикладная наука и включена в подготовку специалистов почти по всем экономическим техническим направлениям.

Математическое моделирование как инструмент познания завоевывает все новые и новые позиции в различных областях деятельности человека. Эта наука широко проникла в различные области науки: экономические, социальные, биологические и многие другие, на первый взгляд, далекие от математики.

Основная задача моделирования различного рода процессов и систем с целью исследования объектов, прогнозирования их поведения или поиска наилучших условий функционирования сводится к расчету анализируемых показателей по математической модели при тех или иных значениях (функциях) входных величин. Важное значение при этом приобретают вычислительные алгоритмы, с помощью которых можно получить при моделировании решение конкретной математической задачи.

Знакомству с идеями и алгоритмами решения наиболее распространенных задач вычислительной математики, применяющихся при математическом моделировании, получению практических навыков их применения.

Оно включает в себя следующие основные темы.

· Интерполяция

· Аппроксимация

· Решение нелинейных уравнений и их систем

· Решение систем линейных уравнений

· Вычисление интегралов

· Основы решения дифференциальных уравнений

· Метод оптимизации.

1. Постановка задачи

1.1 Теоретическое приложение

Концепция методов

В методах случайного поиска величина шага при построении улучшающей последовательности формируется случайным образом. Поэтому в одной и той же ситуации шаг может быть различен в отличие от регулярных методов. «Методы случайного поиска являются прямым развитием известного метода проб и ошибок, когда решение ищется случайно, и при удаче принимается, а при неудаче отвергается, с тем чтобы немедленно снова обратиться к случайности как к источнику возможностей. Такое случайное поведение разумно опирается на уверенность, что случайность содержит в себе все возможности, в том числе и искомое решение во всех его вариантах».

В данном разделе рассматриваются следующие методы:

· Слепой поиск

· Метод случайных направлений

· Метод поиска с «наказанием случайностью»

· Блуждающий поиск

В целом случайные методы поиска предпочтительнее регулярных в задачах высокой размерности и вдали от оптимума. Поэтому здесь они рассматриваются преимущественно в ознакомительном плане. Методы этой группы позволяют в среднем быстрее выходить в район оптимума. Эффективны рассматриваемые методы и при поиске глобального оптимума.

1.2 Основные методы

1. Метод случайных направлений.

Из текущей (или заданной начальной) точки делается шаг в случайном направлении , где – случайный вектор с модулем, равным единице (случайно только его направление); – коэффициент пропорциональности шага. Если (при поиске минимума критерия оптимальности), то новая точка принимается за текущую, и из нее делаются шаги в надежде найти лучшую точку. Если , то делают новую попытку, то есть новый шаг .

Поиск заканчивают, когда за заданное число попыток не удается найти точку с лучшим значением критерия оптимальности, чем имеющаяся текущая.

Существуют модификации метода, в одной из которых после серии неудачных попыток уменьшается коэффициент , что позволяет «уточнить» положение оптимума. В этом случае условием окончания является малость значения шага (то есть ).

Существует также модификация метода с обратным шагом. Отличительной ее особенностью является то, что при неудачном шаге из точки сразу производится шаг в обратном направлении . При достаточном удалении от оптимума такая стратегия поиска может оказаться весьма эффективной. Если обратный шаг оказался неудачным, то можно сделать новый шаг из текущей точки или перейти к поиску с уменьшенным шагом. В последнем случае существует опасность замедления поиска вдали от оптимума, особенно в овраге.

2. Метод поиска с «наказанием случайностью».

Метод является аналогом метода наискорейшего спуска, только направление локального поиска не градиентное, а случайное. Как и в предыдущем методе, из текущей точки делают случайные шаги до тех пор, пока не будет найдена точка с лучшим значением критерия оптимальности. Затем в этом направлении регулярным методом одномерного поиска ищут оптимум. В точке оптимума по направлению опять случайным образом ищут новое направление и т.д.

Условием окончания обычно является невозможность получения лучшей точки из текущей за предварительно заданное число попыток .

3. Метод с «блуждающим поиском».

Данный метод является статистическим расширением градиентного метода и реализуется в соответствии с алгоритмом

 Скачать реферат