Подземная гидромеханика

р2 = рk2 при r = ∞, t > 0. при r = 0

Г.И.Баренблаттом показано, что в такой постановке давление зависит от некоторого единого комплекса, включающего в себя обе переменные – r и t, а дифференциальное уравнение в частных производных приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируе

тся. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей. Распределение давления в пласте зависит, как следует из постановки задачи, от пяти определяющих параметров (n=5): r, t, pk, k/(2ηm0), Qатpатη/(πkh).

Если обозначить размерность длины через L, размерность времени Т, размерность давления [p], то размерности этих параметров выразятся следующим образом:

[r]=L, [t]=T, [pk]=[p], [k/(2ηm0)]=L2/[p]T, [Qатpатη/(πkh).]= [p]2.

Среди этих параметров - три с независимыми размерностями: r, t, pk (k=3). Как следует из П-теоремы, искомая функция – давление, приведенное к безразмерному виду F=p/pk, , будет зависеть от двух безразмерных комплексов (n-k=5-3=2). Такими безразмерными комплексами являются следующие:

и ,

т.е. F=p/pk=F(ξ,λ).

Дифференцируя функцию F по t и по r как сложную функцию и подставляя производные в уравнение (23) , получим, что функция F удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

(24)

при этом начальные и граничные условия сводятся к следующим:

при ξ=0; F(ξ,λ)=1 при ξ=∞ (25)

Уравнение (24) при условиях (25) было проинтегрировано численно. Результаты расчетов приведены в табл.1 для значений λ=0,01 и λ=0,004994. Через ξ* в табл.1 обозначено такое значение аргумента ξ, что для ξ< ξ* значения ξdF2/dξ, отличаются от λ меньше, чем на 0,01%. Значит, для ξ< ξ* можно считать, что ξdF2/dξ= λ.

Проинтегрировав это равенство, получим:

F2=F2(ξ*, λ) + λln(ξ/ ξ*)

или

F(ξ, λ) = [F2 (ξ*, λ)- λln(ξ*/ξ)]½ для ξ< ξ*.

Поэтому значения F(ξ, λ) для ξ< ξ* в табл. 1 не приведены.

Таблица 1

Результаты численного расчета автомодельного решения

1.3 Решение задачи о притоке газа к скважине методом последовательной смены стационарных состояний

Этот метод основан на следующих предпосылках:

- в каждый момент времени существует конечная возмущенная область, в которой происходит движение газа к скважине;

- движение внутри возмущенной области стационарно;

- размер возмущенной области определяется из условия материального баланса.

Решим этим методом ту же задачу о неустановившемся притоке газа к скважине с постоянным заданным дебитом Qат, но будем считать радиус скважины конечным и равным rc.

В любой момент времени возмущенной областью является круговая область радиусом R(t), внутри которой давление распределено по стационарному закону

(26)

Вне возмущенной области давление равно начальному (невозмущенное состояние):

p = рk, r>R(t) (27)

В возмущенной области можно написать также выражение для дебита для стационарной фильтрации:

(28)

В рассматриваемой задаче забойное давление является функцией времени.

Найдем из формулы (28) отношение

и подставим его в формулу для давления в возмущенной области (26).

В результате получим распределение давления, выраженное через заданный дебит и параметры пласта:

(29)

Для нахождения R(t) составляется уравнение материального баланса.

Начальный запас газа (при р = рk) в зоне пласта радиусом R(t):

(30)

Текущий запас газа выразим через средневзвешенное давление :

(31)

где определяется по формуле установившейся фильтрации

(32)

Так как отбор газа происходит с постоянным дебитом Qат, то отобранная масса газа к моменту t равна ρатQатt. Таким образом,

М0-мt= ρатQатt

или, с использованием (30)-(31), найдем:

(33)

Подставив в последнее соотношение выражение (32) для средневзвешенного давления и (28) для Qат, получим:

или (34)

Для значений времени, для которых имеем:

(35)

Теперь, зная закон движения границы возмущенной области в виде (34) или (35), можно найти давление в любой точке пласта в любой момент времени по формуле (29), а также изменение давления на забое скважины в любой момент времени

р=рк, (36)

 Скачать реферат