Подземная гидромеханика

Рефераты / Геология, гидрология и геодезия / Подземная гидромеханика

Содержание

1. Теоретическая часть

1.1 Точное решение осесимметричного притока газа к скважине

1.2 Линеаризация уравнения Лейбензона и основное решение линеаризованного уравнения

1.3 Решение задачи о притоке газа к скважине методом последовательной смены стационарных состояний

1.4 Метод усреднения

2. Расчетная часть

2.1 Рассчитать депрессию на пласт по точной формул

е и по приближенным формулам

2.1.1 Точное решение

2.1.2 Расчет по линеаризованной формуле

2.1.3 Расчет методом последовательной смены стационарных состояний

2.2 Относительная погрешность расчетов

3. Вывод

4. Литература

1. Теоретическая часть

1.1 Точное решение осесимметричного притока газа к скважине

Основы теории движения газа в пористой среде были разработаны основателем советской школы нефтегазовой гидромеханики академиком Л.С.Лейбензоном. Он впервые получил дифференциальные уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарси.

При выводе уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости не изменяются с давлением, т.е. пласт недеформируем, вязкость газа также не зависит от давления, газ совершенный, а фильтрация газа в пласте происходит при неизменных во времени температурах газа и пласта (изотермический закон).

Для вывода дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации совершенного газа воспользуемся уравнением, которое справедливо для любого сжимаемого флюида:

, (1)

где коэффициенты проницаемости и вязкости постоянны.

Функция Лейбензона для совершенного газа определяется по формуле:

Р = ρатp2⁄(2pат) + С. (2)

Продифференцируем (2) по координатам 2 раза:

, , (3)

Преобразуя правую часть уравнения (1) и считая пористость m0 постоянной и учитывая, что для совершенного газа

ρ = ρат p ⁄ pат, (4)

получим:

(5)

Подставив выражения (3) и (5) в уравнение (1), получим:

(6)

Где выражение в скобке представляет собой оператор Лапласа относительно р2, поэтому уравнение (6) принимает вид:

(7)

Полученное дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации совершенного газа называется уравнением Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа. Оно справедливо для совершенного газа при выполнении закона Дарси. Так как коэффициент пористости входит в уравнение (1) в виде произведения ρm, в котором плотность газа меняется в большей степени, чем пористость, его изменением пренебрегают.

Уравнение Лейбензона (6) можнозаписать следующим образом, умножив правую и левую частина давление р и заменив

(8)

В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и таже функция р2, но коэффициент в правой части kр/(ηm0)-переменный, в него входит искомая функция p(x,y,z,t).

Неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния ρ = ρат p ⁄ [pатz(p)] и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления η=η(p) и недеформируемости пористой среды (m0=const, k=const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа:

(9)

Для решения задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (6) или (8) должно быть проинтегрировано по всей области газовой залежи при заданных начальных и граничных условиях.

Так как уравнение (6) или (8) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве случаев не имеет точных аналитических решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны.

Численные методы решения различных задач фильтрации газа на основе уравнения Л.С. Лейбензона достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. Наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, связанных с изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентность газа и т.д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л.С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Оказалось, что использование функции Лейбензона в форме (2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтрации во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа oт температуры.

Уравнение (6) получено с использованием в качестве уравнения движения закона Дарси. Вместе с тем, последующие исследования И.А.Чарного, Е.М. Минского и других показали, что при фильтрации газов в природных пластах в большинстве случаев следует пользоваться нелинейным (двучленным) законом фильтрации.

Одним из эффективных путей решения уравнения Лейбензона является линеаризация, т.е. сведение его к линейному уравнению Фурье. В некоторых практических случаях использование различных способов линеаризации уравнения (6) позволяет получать приближенные решения, удовлетворяющие требованиям практики.

Будем считать пласт недеформируемым, фильтрацию изотермической и происходящей по двучленному закону. Рассмотрим плоскорадиальный поток к осесимметрично расположенной скважине.

Воспользуемся уравнением неразрывности для плоскорадиального движения:

(10)

Воспользовавшись выражением для массовой скорости ρw, полученным из двучленного закона фильтрации, после подстановки в них значений плотности из уравнения состояния (4), получим:

; (11)