Идентификация объекта управления

Рефераты / Коммуникации, связь и радиоэлектроника / Идентификация объекта управления

Используют также ¼ реплики от полного факторного эксперимента.

Уравнение взаимосвязи входного и выходного сигналов – уравнение регрессии – записывается в виде алгебраического полинома 1-ой и 2-ой степени в следующем виде:

1-ой степени:

xвых = b0 +b1x1+b2x2;

с учетом взаимодействия входных факторов для 2-х входных факторов x1 и x2:

xвых = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1 x2

Полином второй степени – уравнение регрессии:

Естественно, это уравнение более точно описывает взаимосвязь xвых – функции отклика – с входными факторами (сигналами) объекта.

Задача идентификации объекта управления (ОУ) методом регрессивного анализа сводится к выбору порядка математической модели – уравнения регрессии – и определению коэффициентов b0, b1, b2, b12 и т.д. в этом уравнении регрессии. При определении этих коэффициентов используется метод наименьших квадратов, в котором определяется наименьшая сумма отклонений в квадрате (2-ой степени) между реально полученным в эксперименте выходным сигналом и выходным сигналом, рассчитанным (предсказанным) по уравнению регрессии, т.е. ищут минимум функции:

Минимум функции Ф достигается в том случае, когда первая частная производная (тангенс угла наклона к впадине) равна нулю, т.е.

Пример

Рассмотрим пример использования метода наименьших квадратов. Пусть выходной сигнал (функция отклика) зависит от одного фактора (входного сигнала). Активно проведено n экспериментов. Задана и получена – результатов экспериментов. Общий вид уравнения регрессии 1-го порядка для примера:

xвых = b0 + b1x1

Методом наименьших квадратов ищем минимум функции Ф:

Для получения минимума этой Ф приравниваем к нулю частные производные

Для удобства получения частных производных введем фиктивную переменную x0=1 и функцию Ф запишем:

x0=1 можно убрать. Тогда

Решая эту систему алгебраических уравнений (можно методом Крамера), находим:

Проверка идентичности математической модели – уравнения регрессии исследуемого объекта проводится по нескольким критериям адекватности и идентичности модели.

Поскольку результаты опытов в эксперименте заранее точно предсказать невозможно, то обработка и сами результаты связаны с неопределенностью или вероятностью. Вероятность изменяется в пределах: 0 – события быть не может, 1 – событие произойдет обязательно (день-ночь). При большом числе параллельных (одинаковые условия) опытов вероятность может быть задана в виде функции распределения вероятностей (рис. 4.):

Рис. 4. Схема нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей

На практике чаще всего используется так называемое нормальное (гауссовское) распределение вероятностей.

Случайная величина () имеет несколько числовых характеристик, наиболее важные из которых – это математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание – это среднее взвешенное значение случайной величины

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Проверка значимости уравнения регрессии проводится по критерию Фишера или F-критерию. Проверка заключается в определении, значимо ли (больше ошибки измерения) полученное уравнение отличается от уравнения . Для этого вычисляют дисперсию относительно среднего значения выходного сигнала:

где f1 – число степеней свободы,

А также остаточную дисперсию:

f2 – число степеней свободы.

Величину критерия Фишера (F-критерий) определяют по формуле:

(должно быть).

Значимость коэффициентов bi уравнения регрессии определяют по t-критерию (критерии Стьюдента):

Идентификация объектов управления методом корреляционного анализа

Метод корреляционного анализа используется для идентификации объектов управления в том случае, если входные и выходные сигналы являются случайными величинами.

Рис. 5. Схема исследования объекта корреляционным методом

При корреляционном анализе используются:

– автокорреляционная функция (АКФ) и

– взаимокорреляционная функция (ВКФ).

АКФ характеризует зависимость последующих значений случайной величины от предыдущих, находящихся на расстоянии Dt.

Рис. 6. График изменения входной случайной величины – входного сигнала

АКФ:

При Dt ®0 – точнее.

Взаимокорреляционная функция связывает две величины, отстоящие друг от друга на Dt.

ВКФ:

С АКФ и ВКФ связаны (через преобразование Фурье, когда входной-выходной сигнал раскладывается в ряд Фурье, состоящий из суммы синусоидальных колебаний с различной w – ряд гармоник) спектральные плотности случайных величин.

– для АКФ,