Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

Вариант 1

№ 1

Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7.

Найти вероятности того, что:

а) все три стрелка попадают в цель;

б) только один из них попадает в цель;

в) хотя бы один стрелок попадает в цель.

Обозначим события: А – все 3 стрелка попадают в цель;

В – только один стрелок попадает в цель; С – хотя бы один стрелок попадает в цель.

Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3.

а) Р(А) = р1р2р3 = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504.

б) Р(В) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,2∙0,3 + 0,1∙0,8∙0,3 + 0,1∙0,2∙0,7 = 0,092.

в) Событие – все три стрелка промахиваются. Тогда

Р(С) = 1 – Р() = 1 – 0,1∙0,2∙0,3 = 1 – 0,006 = 0,994.

№ 11

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз

У нас n достаточно великó, р малó, λ = np = 150 ∙ 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом,

№ 21

По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).

Последовательно получаем:

5

М(Х) = ∑ хірі = 0,05 + 2∙0,18 + 3∙0,23 + 4∙0,41 + 5∙0,13 = 3,39.

i=1

5

D(X) = ∑ xi²pi – M² = 0,05 + 2²∙0,18 + 3²∙0,23 + 4²∙0,41 + 5²∙0,13 – 3,39² = i=1

1,1579.

σ(Х) = √D(X) = √1,1579 = 1,076.

№ 31

Случайная величина Х задана интегральной функцией

а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

;

г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) ;

в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a) Þ P= F(1) – F= – 0 = .

Графики функций поданы далее.

№ 41

Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; β = 13; а = 10; σ = 4.

Используем формулу Р(α < x < β) =

Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф– Ф(–2).

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:

Ф– Ф(–2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.

№ 51

По данному статистическому распределению выборки

Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную

, где С – одно из значений хі, как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 1,8).

Пусть С = 11,2. Тогда .

Заполним таблицу:

 Скачать реферат