Развитие математики в России в середине XVIII века

Проблема звучащей струны имела, как известно, весьма существенное значение для развития всего математического анализа не только в XVIII веке, но и в XIX. В длительном споре о характере допустимых «произвольных функций», входящих в решении уравнений колебания струны, приняли участие почти все самые выдающиеся ученые эпохи: Даламбер, Эйлер, Д. Бернулли, Лагранж. В этом споре получило существенное

развитие одно из самых основных понятий анализа – понятие функции. Наряду с проблемой колебаний струн и мембран стимулирующее влияние на развитие учения об уравнениях в частных производных оказали задачи гидродинамики. В отличие от гидростатики, история которой ведет свое начало от работ Архимеда, гидродинамика как наука сложилась только в середине XVIII века. Необходимость изучения законов движения жидкости диктовалась настоятельными потребностями практики расчетов мощных водяных двигателей, гидротехнических сооружений и возросшими потребностями кораблестроения. Стимулом значительного прогресса гидродинамики, достигнутого в 50-х годах XVIII века, было также развитие аналитических методов динамики материальной точки и системы точек.

Для решения основной задачи о взаимодействии среды с движущимися в ней телами необходимо было сформулировать основные законы движения жидкости. Ученые XVIII века в этом отношении не имели фактически никакого наследия. Первые попытки Галилея проанализировать сопротивление воздуха с количественной стороны и результаты Ньютона по изучению сопротивления, оказываемого жидкостью движущемуся в ней твердому телу, были совершено недостаточны. Необходимо было создать аналитические методы теоретической гидродинамики. Решением этой задачи математическое естествознание обязано Д. Бернулли, Даламберу, Эйлеру и Лагранжу. Первый выдающийся результат в этой области принадлежит Д. Бернулли, опубликовавшему в 1738 году свою знаменитую «Гидродинамику»[1]. Вслед за «Гидродинамикой» Д. Бернулли появился известный трактат Даламбера «О равновесии и движении жидкостей»[2]. Даламбер пришел, в частности, к парадоксальному заключению об отсутствии сопротивления при движении тела в жидкости, явившемуся следствием того, что он не учел значения всего обтекания тела при движении. В обсуждении этого явления вскоре принял участие Эйлер. Дальнейшее изучение «парадокса Даламбера – Эйлера» способствовало привлечению внимания исследователей к важнейшей проблеме гидродинамики – проблеме обтекания тел, движущихся в жидкости.

Основополагающим исследованием, от которого, собственно, и ведет свое начало теоретическая гидродинамика, является сочинения Эйлера «Общие принципы движения жидкостей»[3]. В нем Эйлеру впервые вывел основные уравнения гидродинамики для жидкости, лишенной вязкости.

Исследования колебаний струн, мембран, стержней и важнейшей задачи гидродинамики уже в 50-х годах XVIII века послужили источником возникновения теории уравнений в частных производных. В области обыкновенных дифференциальных уравнений Эйлер и его современники могли использовать результаты, полученные их предшественниками, в новой же области надо было начинать с самого начала. Эйлер был прав, говоря, что в этой новой области анализа нет не только каких-либо приемов решения, но и необходимых обозначений.

В постановке аналитических задач теории уравнений в частных производных решающая роль принадлежала физике. Сведения указанных физических задач к чистому анализу сразу же потребовало разыскания первых подступов к этой новой ветви математики. Отправным пунктом здесь могла служить лишь теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, в первых работах о струне Эйлер использовал метод интегрирующего множителя и теорию уравнений в полных дифференциалах, а в более поздних широко применял метод степенных рядов.

Гораздо сложнее оказалась проблема создания новых методов, отвечающих самой природе уравнений нового вида. Ее решение является одним из важнейших вопросов современной математики. На долю исследователей XVIII века выпало создание основ метода характеристик и метода тригонометрических рядов. Первое выполнил Эйлер, второе начал в свои исследованиях Д. Бернулли. Оба эти метода получили дальнейшее развитие в XIX веке и являются одним из самых сильных в современной теории уравнений в частных производных. Лагранж заложил основы теории сопряженных уравнений, что являлось позже исходным пунктом в разработке известного «метода Римана», в котором существенное значение имеет применение характеристических координат.

Интерес к математическому анализу усилился постановкой ряда новых геометрических задач в ходе развития дифференциальной геометрии. Решение этих задач приводило к уравнениям в частных производных первого порядка.

Таким образом, к концу рассматриваемого периода в теории дифференциальных уравнений накопилось сравнительно много частных результатов, которые необходимо было систематизировать.

3. Развитие основных понятий математического анализа в XVIII века

В развитии математики, механики, физики и всего естествознания в России и западноевропейских странах XVIII века особую роль сыграли труды величайшего математика и механика XVIII века Леонарда Эйлера.

Несмотря на то, что на протяжении предшествующих столетий механика и геометрия настоятельно ставили перед мыслителями задачи изучения зависимости между переменными величинами, понятие о взаимозависимости таких величин не получило аналитического выражения. Не только у Лейбница, но и у Даламбера понятие зависимости между переменными носило геометрический характер, так как они рассматривали зависимости между отрезками прямых. Введя само слово «функция», Лейбниц начиная с 1692 года называет им отрезки любых прямых, связанных тем или иным образом с точками определенной величины – флюенты, по его терминологии, служит некоторая равномерно текущая величина, аналогичная времени.

Между тем совокупность отдельных классов функций неуклонно увеличивалась. Существенно значение в этом процессе имело составление таблиц логарифмов, совершенствование таблиц тригонометрических функций, обусловленное, в частности, потреблениями геодезии и навигации.

Таким образом, уже на рубеже XVII и XVIII веков возникла необходимость в выражении понятий функциональной зависимости, свободном от геометрического и механического облачения, и задача выделения важнейших классов функций. Первый значительный шаг в решении этой проблемы сделал в 1718 г. И. Бернулли. Он писал: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Непосредственным развитием определения Бернулли явилась трактовка Эйлера понятия функциональной зависимости в первом томе «Введение в анализ»: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств»[4].

Эйлерово определение функции – это по сути определение функции комплексного переменного однако смысл его становится отчетливым лишь после того, как выясняется содержание понятий «аналитическое выражение».

 Скачать реферат