Развитие математики в России в середине XVIII века

Именно здесь Эйлер и подходит к классификации функций. В качестве допустимой операции при составление, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, решение алгебраических уравнений интегрирование. Функции, получаемые в результате этих действий, исключая интегрирование, Эйлер называет алгебраическим и делит их на рациональные (целые и дробные) и иррациональные. Применение назван

ных операций к элементарным трансцендентным функциям eⁿ, ln n, sin n, cos n приводит его к трансцендентным функциям[5].

Кроме расширения области значений аргумента Эйлер сделал принципиальный шаг вперед в выяснении важнейших общих свойств функций как аналитических выражений. Функции, заданные единым аналитическим выражением, он называет непрерывными, вкладывая, таким образом, в это понятие смысл, отличительный от нашего понимания непрерывности. Разрывными функциями у него называются функции, заданные на разных кусках интервала различными аналитическими выражениями[6].

Учитывая запас операций, принятый для образования аналитических выражений Эйлер должен был получить функции аналитические в современном определении всюду, за исключением изолированных особых точек. В окрестности же этих точек получаемые функции должны были допускать разложение в обобщенный степенной ряд, который мог содержать дробные и отрицательные степени. Таким образом, выделяя класс непрерывных функций, Эйлер по сути выделял класс аналитических функций в смысле современной теории функций комплексного переменного. Именно поэтому установленные Эйлером важнейшие свойства непрерывных функций оказываются основными свойствами аналитических функций в смысле современного определения. Одно из этих свойств – представимость функции степенным рядом.

В более поздней работе (1767г.) Эйлер выясняет другое существенное свойство непрерывных функций, состоящее в том, что значения любой функции на сколь угодно малом интервале. Иными словами, любой как угодно малый кусок непрерывной кривой определяет всю эту кривую. Эйлер установил еще два общих свойства непрерывных функций. По Эйлеру, функции разрывные являются либо кусочно-аналитическими в смысле современного определения, либо аналитическими. В дальнейшем эйлерову трактовку понятия функциональной зависимости будем называть трактовкой узкого определения функции. Это понятие Эйлер рассматривает во втором томе«Введение в анализ» (1748г.).

Содержанием второго тома является введение в область геометрических приложений анализа. Исследуя вопросы аналитической геометрии, Эйлер принял условие: не пользоваться «никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающего природу каждой кривой линии». Основную задачу он ставит в смысле изучения зависимости между аппликатой (ординатой) и абсциссой, поэтому область изменения аргумента ограничивается лишь полем действительных чисел. Расширению подвергается само понятие функциональной зависимости. Как сама геометрия, таки одна из важнейших проблем математической физики - задача о колебании струны – привела Эйлера к необходимости введения в анализ разрывных функций, т.е. функций, «лишенных закона непрерывности». Задача колебания струны потребовала изучения «механических» кривых, или кривых, получаемых «свободным влечением руки».

Проблема колебания струны оказала принципиальное влияние на развитие математического анализа не только в XVIII, но и XIX веке.

4. Дифференциальное исчисление

В 1755 году Петербургская академия наук опубликовала «Дифференциальное исчисление» Л. Эйлера. По содержанию, систематичности изложения и последовательности в развитии необходимых новых понятий и алгоритмов это сочинение можно поставить на одно из самых почетных мест во всей истории математического анализа. Весьма сильное влияние оно оказало на развитие и преподавание математики в России.

В первой половине XVIII века назрела необходимость освободить основания нового исчисления от механической и геометрической трактовки их. Новое исчисление требовало подхода, свободного от аппеляции к физике, механик и геометрии. Таким походом мог быть только аналитический. «Здесь же все изложение ограничено областью чистого анализа, так что для изложения всех правил этого исчисления не понадобилось ни одного чертежа», - указывает Эйлер в заключительной фразе своего предисловия[7].

В основе дифференциального исчисления Эйлера лежит понятие бесконечно малой величины. В этом отношении он следует первому учебнику анализа бесконечно малых Лопиталя (1696г.), написанному под большим влиянием И. Бернулли.

Разъясняя понятия бесконечно малых и бесконечно больших величин, Эйлер стремится отвести упреки относительно принебрежения в анализе «геометрической строгостью». Однако попытки логического обоснования основных начал анализа Эйлеру не удались. Существо этих попыток заключалось в построении «исчисления нулей». Прежде всего Эйлер вводит два способа сравнения нулей: арифметический и геометрический. При первом рассматривается разность нулей, при втором – их отношение.

Определяя бесконечно малые количества как чистые нули, Эйлер вынужден полемизировать с Лейбницем, считавшим, что существуют некие последние частицы, называемые «атомами», «монадами» иди «простыми сущностями»[8].

В работе о дифференциальных уравнениях (1728г.) Эйлер рассматривает классы однородных уравнений второго порядка. К этому же времени относятся его исследования о геодезических линиях. Соответствующее дифференциальное уравнение оказалось также второго порядка. В работе о началах вариационного исчисления (1744г.) он использует дифференциалы любого порядка, а также понятие функции многих переменных.

5. Интегральное исчисление и теория обыкновенных дифференциальных уравнений

В 1768 году Петербургская академия издала первый том «Интегральное исчисление» Л. Эйлера. Второй и третий тома также в России в 1769 и 1770 годах. Широта содержания, необычайное богатство новых результатов, в подавляющем большинстве принадлежащих самому Эйлеру, проникновение в сложные вопросы теории дифференциальных уравнений, не только обыкновенных, но и в частных производных, - все это определило значение и роль трехтомного сочинения Эйлера в истории математического анализа. Без преувеличения можно сказать, что «Интегральное исчисление» Эйлера составляет эпоху в развитии математического анализа. Этот труд оказал также влияние на дальнейшее развитие ряда математических наук.

В понятие интегрального исчисления Эйлер, как и его современники, включал не только интегрирование функций, но и интегрирование дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных.

В связи с этим три тома «Интегрального исчисления» содержат такие разделы: интегрирование функций, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование дифференциальных уравнений второго и высшего порядков, интегрирование уравнений с частными производными.

В 1794 г. уже после смерти Эйлера Петербургская академия наук издала четвертый том «Интегрального исчисления», содержащий дополнения, главным образом, к первым двум томам. В Собрании сочинений Л. Эйлера материал четвертого тома распределен по соответствующим томам первой серии этого издания.

 Скачать реферат