Предел последовательности. Теорема Штольца

Рефераты / Математика / Предел последовательности. Теорема Штольца

Определение 5: числовая последовательность {хп} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {хп – а} является бесконечно малой последовательностью. При этом само а – предел исходной числовой последовательности.

Из этого определения следует, что все бесконечно малые последовательности являются сходящимися и предел этих последовательностей = 0.

В связи с тем, что понятие сходящейся последовательности увязано с понятием бесконечно малой последовательности, то определение сходящейся последовательности можно дать в другой форме:

Определение 6: числовая последовательность {хп} называется сходящейся к числу а, если для любого сколь угодно малого найдётся такой , что для всех n> Nвыполняется неравенство

при ,

а – предел последовательности

Т.к. равносильно , а это означает принадлежность интервалу хnє (a– ε; a+ ε) или, что то же самое, принадлежит ε– окрестности точки а. Тогда мы можем дать ещё одно определение сходящейся числовой последовательности.

Определение 7: числовая последовательность {хп} называется сходящейся, если существует такая точка а, что в любой достаточно малой ε– окрестности этой точки находится сколь угодно элементов этой последовательности, начиная с некоторого номера N.

Замечание: согласно определениям (5) и (6), если а – предел последовательности {хп}, то xп– а является элементом бесконечно малой последовательности, т.е. xп– а = αn, где αn– элемент бесконечно малой последовательности. Следовательно, xп= а +αn, и тогда мы в праве утверждать, что если числовая последовательность {хп} сходится, то её всегда можно представить в виде суммы своего предела и элемента бесконечно малой последовательности.

Верно и обратное утверждение: если любой элемент последовательности {хп} можно представить в виде суммы постоянного числа и элемента бесконечно малой последовательности, то это постоянная и есть предел данной последовательности.

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1:

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство:

Предположим, что последовательность {xn} имеет два предела (а ≠ b)

xn→ a, следовательно xn= a+ αn, где αnэлемент бесконечно малой последовательности;

xn→ b, следовательно xn= b+ βn, где βnэлемент бесконечно малой последовательности;

Оценим разность данных равенств 0 = a– b+ (αn- βn),

обозначим αn- βn= γn, γn– элемент бесконечно малой последовательности,

следовательно, γn= b– a,

а это означает, что все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу b– a, и тогда b– a= 0 по свойству бесконечно малой последовательности,

следовательно, b= a,

следовательно, последовательность не может иметь двух различных пределов.

Теорема 2:

Если все элементы последовательности {xn} равны С (постоянной), то предел последовательности {xn}, тоже равен С.

Доказательство:

Из определения предела, следует, С = С + 0.

Теорема 3:

Если последовательности {xn} и {уn} сходятся, то и последовательность {xn+ уn} также сходится и её предел равен сумме её слагаемых (пределов).

Доказательство:

xn→ a, следовательно xn= a+ αn

уn→ b, следовательно уn= b+ βn

xn+ уn= а + b+ (αn+ βn)

обозначим αn- βn= γn, следовательно xn+ уn= а + b+ γn,γnэлемент бесконечно малой последовательности;

следовательно,

Следствие: разность двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, и её предел равен разности их пределов.

Теорема 4:

Если последовательности {xn} и {уn} сходятся, то и последовательность {xn* уn} также сходится и её предел равен произведению её множителей (пределов).

Доказательство:

xn→ a, следовательно xn= a+ αn

уn→ b, следовательно уn= b+ βn

xn* уn= (а + αn)*(b+ βn)=аb+(а βn+ bαn+ αnβn)

обозначим γn= а βn+ bαn+ αnβn, где γnэлемент бесконечно малой последовательности, получается

xn* уn= ab+ γn,

следовательно,

Теорема 5:

Если последовательности {xn} и {уn} сходятся к числам а и bсоответственно, и если b≠ 0, предел частного существует, конечен и равен частному пределов.

Доказательство:

Т.к. последовательность {уn} сходится к b, то по определению сходящейся последовательности, для любого ε > 0, найдётся N(ε), такой что для всех n> N, будет выполнятся неравенство |b– yn|< ε.

Тогда положив , видим, что

откуда следует

следовательно

Т.к., согласно условию b≠ 0, то из последнего неравенства следует, что для всех n> Nэлементы последовательности {уn} не равны 0, значит именно с этого номера Nможно определить последовательность

xn= a+ αn

уn= b+ βn, следовательно