Предел последовательности. Теорема Штольца

при нахождении такого предела говорят, что будем раскрывать неопределённость вида .

при нахождении такого предела, говорят, чт

о будем раскрывать неопределенность вида .

Для раскрытия неопределённости доделим числитель и знаменатель на наибольшую степень n.

Таким образом, имеет место правило:

Предел отношения двух многочленов равен бесконечности, если степень числителя больше степени знаменателя, нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя и отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны.

Для упрощения задачи нахождения предела последовательности, вышеуказанного вида, мы прибегаем к помощи теоремы Штольца.

Теорема Штольца

Для определения пределов неопределённых выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz).

Теорема: Пусть варианта ,причём – хотя бы начиная с некоторого места – с возрастанием п и уп возрастает: т.е. уп+1 > yn. Тогда

если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Доказательство:Допустим сначала, что этот предел равен конечному числу L:

Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n> Nбудет

или

.

Значит, какое бы n> Nни взять, все дроби

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания уп вместе с номером п, положительны, то между теми же границами содержится и дробь

числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n > N

запишем тождество

откуда

.

Второе слагаемое справа, как мы видели выше, при n> Nстановится < .

Первое же слагаемое, ввиду того, что, также будет < , скажем, для n> N’. Если при этом взять N’ > N, то для n> N’очевидно

,

что и доказывает наше утверждение.

Случай бесконечного предела приводится к выше рассмотренному. Пусть, например,

Отсюда, прежде всего, вытекает, что (для достаточно больших n)

следовательно, вместе с уnи , причем варианта хп возрастает с возрастанием номера п. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению :

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что

,

что и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров на применение данной теоремы

1.Вычислить

Установим одно вспомогательное неравенство (неравенство Як. Бернулли):

если п – натуральное число, большее единицы, и γ>1, то

(*)

Действительно, положив γ =1+λ, где λ > 0, по формуле Бинома Ньютона будем иметь:

так как ненаписанные члены положительны, то

,

что равносильно неравенству (*).

так же и в нашей задаче, положив а = 1+λ, так что λ > 0, имеем по формуле Бинома Ньютона

.

Так как для n > 2, очевидно, , то окончательно,

При k = 1, получаем сразу

так что

Так как этот результат верен при любом а > 1, то, взяв k > 1, можем утверждать (по крайней мере, для достаточно больших n)

так что

(а > 1).

Доказанный, таким образом, для k = 1, этот результат тем долее будет верен и для k < 1.

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу

2.Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения (Коши):

Если варианта ап имеет предел (конечный или бесконечный), то тот же предел имеет и варианта

(«среднее арифметическое» первых п значений варианты ап).

Действительно, полагая по теореме Штольца

имеем:

Например, если мы знаем, что , то и

3.Рассмотрим теперь варианту (считая к – натуральным)

,

 Скачать реферат