Метод Монте-Карло и его применение

Задача. Найти оценку интеграла .

Решение. Так как , то примем . Тогда,

полагая число испытаний n=10, имеем оценку

.

Выполнив элементарные преобразования, получим

.

Учитывая, что a=0, b=1, возможные значения разыграем по формуле . Результаты вычислений приведены в таблице 4.

Сложив числа последнего столбца таблицы 4, найдём сумму 19,597, подставив которую в соотношение , получим искомую оценку интеграла

.

Заметим, что точное значение I=1,147.

§6. Программа вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло.

Вычислить определенный интеграл по методу “Монте-Карло” по формуле

,

где n – число испытаний ;g(x) – плотность распределения “вспомогательной” случайной величины X, причем , в программе g(x) = 1/(b-a)

Программа написана на языке TURBOPASCAL 7.0

Program pmk;

Uses crt;

Var k,p,s,g,x,Integral : real;

n,i,a,b : integer;

BEGIN

writeln(‘Введите промежуток интегрирования (a;b):’);

readln(a);

readln(b);

writeln(‘Введите количество случайных значений(число испытаний):’);

readln(n);

k:=b-a; {Переменной“k”присвоим значение длины промежутка интегрирования}

writeln(‘k=’,k);

for i:= 1 to n do begin {проведем n испытаний}

g:=random; {g – переменная вещественного типа, случайная величина из промежутка [0;1]}

x:= a + g*(b-a); {По этой формуле получается произвольная величина из [a; b] }

s:=s + (1+x); {s:=s +(x*x)} {Вообще можно подставить любую функцию}

delay(1000); {задержка, чтобы произвольные значения не повторялись}

end; {конец испытаний}

writeln(‘s=’,s); {Сумма функции для n произвольных значений}

Integral:=(1/n)*k*s ;

writeln(‘Интеграл=’,Integral);

readln;

END.

Требуется ввести промежуток интегрирования и количество испытаний, интегрируемая функция уже задана в программе (но ее можно поменять).

; .

§7. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло.

Пусть функция непрерывна в ограниченной замкнутой области S и требуется вычислить m-кратный интеграл

. (1)

Геометрически число I представляет собой (m+1)-мерный объём прямого цилиндроида в пространстве , построенного на основании S и ограниченного сверху данной поверхностью , где .

Преобразуем интеграл (1) так, чтобы новая область интегрирования целиком содержалась внутри единичного m-мерного куба. Пусть область S расположена в m-мерном параллелепипеде

. (2)

Сделаем замену переменных . (3)

Тогда, очевидно, m-мерный параллелепипед (2) преобразуется в m-мерный единичный куб (4)

и, следовательно, новая область интегрирования σ, которая находится по обычным правилам, будет целиком расположена внутри этого куба.

Вычисляя якобиан преобразования, будем иметь:

. Таким образом, , (5)

где . Введя обозначения и , запишем интеграл (5) короче в следующем виде: . (5/)

 Скачать реферат