Интегралы. Дифференциальные уравнения

Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Тогда объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволине

йной трапеции, ограниченной линиями , и находится по формуле

.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное уравнение го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид

.

Решением дифференциального уравнение называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его тождество.

Общим решением дифференциального уравнения го порядка называется такое его решение

,

которое является функцией переменных и произвольных независимых постоянных .

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении

(1)

функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве координатной плоскости. Тогда

1. Для любой точки множества найдется решение уравнения (1), удовлетворяющее условию .

2. Если два решения и уравнения (1) совпадают хотя бы для одного значения , то эти решения совпадают для всех тех значений переменной , для которых они определены.

Дифференциальное уравнение (1) первого порядка называется неполным, если функция явно зависит либо только от, либо только от .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

или в виде

,

где , , – некоторые функции переменной ; – функции переменной .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

,

где и – некоторые (непрерывные) функции переменной .

В случае, когда функция тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, (2)

где – некоторые действительные числа, – некоторая функция.

Если , то уравнение

(3)

называется однородным, в противном случае приуравнение (2) называется неоднородным.

Теорема. Если и – линейно независимые частные решения уравнения (3), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, то есть имеет вид

,

Для некоторых действительных чисел и .

Уравнение

(4)

называется характеристическим уравнением уравнения (3).

Теорема.

1. Пусть характеристическое уравнение (4) имеет действительные корни , причем . Тогда общее решение уравнения (3) имеет вид

,

где и – некоторые числа.

2. Если характеристическое уравнение (4) имеет один корень (кратности 2), то общее уравнения (3) имеет вид

,

 Скачать реферат