Новый метод решения кубического уравнения

Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы

- разложение левой части на линейные множители ( если возможно )

- с помощью формулы Кардана

- применение специальных таблиц

(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219). >В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!

Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.

Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ". Пусть а = 1.

Решение

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид

(2mn)2 + ( 3x + b )(2mn) + 3x2 + 2bx +с = 0 ( 1 )

где

x - любой из нулей ( корней) исходного уравнения

2mn - разность любой пары из трех нулей исходного уравнения

Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим

(2mn)6 +2( 3c – b2 )(2mn)4+(3c – b2 )2(2mn)2 + [ 4( 3c – b2 )3 + ( 2b3 – 9bc + 27d )2]/27 = 0 ( 2 )

Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение

Утверждение1 "Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

2(3c-b2) = - [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]

[4(3c-b2)3+(2b3 - 9bc+27d)2]/27 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

где (2mn)j - разность любой пары корней исходного уравнения.

x - один ( любой ) из корней исходного уравнения. "

1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение

D1= - = - (2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32

2. Определяем значение

D2 = - 2( 3c – b2 ) = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32]

Из этих уравнений следует, что

- если выражение - 2(3c - ) - целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов

- и если при этом выполняется равенство D1 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32 , то в результате получим решение для (2mn)1,( 2mn)2,( 2mn)3.

3. Определяем значение корней исходного уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = - (2mn)2( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)2( 2mn)3

Задача решена !

Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 9x2+ 23x - 15 = 0

гдеa =1, b = - 9, c = 23, d = -15

Решение

1. Определяем значение D1 = = -

-→ D1 = - [4(69-81)3+( - 1458 + 1863 - 405)2]/27= - [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162

Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0

2. Определяем значение D2= - 2(3c - )

-→ D2 = - 2( 3∙23 - 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4

Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно

имеем (2mn)1 = 2, (2mn)2 = 4, (2mn)3 = 2.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.

3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 15 = 0 -→ x2 - 6x + 5 = 0

-→ X1 = 3 + 2 = 5 , X2 = 3 - 2 = 1

Здесь X1 = 5 - одно из решений исходного уравнения.

Здесь X2 = 1 второе решение исходного уравнения.

3.3 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 27 = 0 -→ x2 - 6x + 9 = 0

-→ X2 = 3

Здесь X= 3 - последнее из решений исходного уравнения.

3.4 3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = 2∙2 -→ 3x2 - 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.

Задача решена!

Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0

гдеa =1, b = - 20, c =113, d = -154

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(339-400)3+( - 16000 + 20340 - 4158)2]/27= - [- 907924+33124]/27=32400

2. Определяем значение D2 = - 2(3c - )

-→ D2 = - 2( - 400 ) = 122 = 32 + 72 + 82 = 42 + 52 + 92

Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.

Поэтому, проверяем на соответствие с числом D1 = 32400.

2.1 32 ∙ 72 ∙ 82 = 28224 ≠ 32400

2.2 42 ∙ 52 ∙ 92 = 32400 . Этот вариант подходит!

-→ (2mn)11 = 4, (2mn)12 = - 4,

(2mn)21 = 5, (2mn)22 = - 5,

(2mn)31 = 9, (2mn)32 = - 9.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 40x + 113 = - 4∙5 -> 3x2 - 40x + 133 = 0.

-→ X1 = 7, X2 =

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1 = 7, и кроме того, известны значения (2mn)11 ч (2mn)32. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)11 = 4 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 – 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).

4.2 Пусть (2mn)12 = - 4 = (X1 - X2) -→ X2 = X1 + 4 = 7 + 4 = 11. Это второй корень.

4.3 Пусть (2mn)21 = 5 = (X2 - X3) -→ X3 = X2 - 5 = 7 - 5 = 2. Это третий корень.

 Скачать реферат