Новый метод решения кубического уравнения

где

- (2mn)j - разность любой пары корней исходного уравнения

- D1 = -

- D2 = - 2( 3c – b2 )

- ( b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.

По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и дв

а сопряженных мнимых корня X2 = ( g2 - hi), X3 = ( g2 + hi). Тогда

(2mn)1 = ( X1 - X2) = (g1 - g2 ) + hi

(2mn)2 = ( X1 - X3) = (g1 - g2 ) – hi

(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - hi - g2 – hi = - 2hi

-→ D1= - ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = - [(g1 - g2 ) + hi]2 ∙ [(g1 - g2 ) - hi]2 ∙ [2 hi]2

-→ D1= [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2

Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место

- знак “ + “

- только действительные числа.

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем

1. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам

D1 = -

D2 = - 2( 3c - b2 )

определяются значения D1 и D2.

2. Определяются D1 - как произведение двух квадратов

D2 - как удвоенная сумма двух квадратов.

3.Определяются значения g1, g2,h.

4. Определяются значения (2mn)11, (2mn)21, (2mn)31

5. Определяются значения корней исходного уравнения.

Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 9x2 + 73x – 265 = 0

гдеa =1, b = - 9, c = 73, d = - 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.

-→D1 = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2 = 659344 = 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29= 4∙72 ∙ 582

Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2 . Тогда можно записать

h = 7, (g1 - g2 )2 + h2 = 58 -→ (g1 - g2 )2 = 58 – 49 = 9 -→( g1 - g2 ) = ± 3

3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X1+X2+X3 -→ - ( - 9) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2 -→ 9 = g1 + 2g2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g1 - g2 )= ± 3 и (g1 + 2 g2) = 9, можно определить значения g1 и g2

Пусть ( g1 - g2 )= 3 -→ g2 = g1 – 3 -→ g1 + 2(g1 – 3) = 9 -→ 3g1 = 15 -→ g1 = 5 -→g2 = 2.

-→ X1 = 5, X2 = 2 + 7i , X3 = 2 – 7i

Расчет закончен !

Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 30x2 + 322x – 1168 = 0

гдеa =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.

-→D1 = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2 = 115600 = 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17= 4∙ 52 ∙342

Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ 4h2 . Тогда можно записать

h = 5, (g1 - g2 )2 + h2 = 34 -→ (g1 - g2 )2 = 34 – 25 = 9 -→( g1 - g2 ) = ± 3

3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X1+X2+X3 -→ - ( - 30) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2 -→ 30 = g1 + 2g2.

4.Теперь, имея два уравнения ( g1 - g2 )= ± 3 и (g1 + 2 g2) = 30, можно определить значения g1 и g2

Пусть ( g1 - g2 )= - 3 -→ g2 = g1 – 3 -→ g1 + 2(g1 – 3) = 30 -→ 3g1 = 24 -→ g1 = 8 -→g2 = 11.

-→ X1 = 8, X2 = 11 + 5i , X3 = 2 – 5i

Расчет закончен !

Новый метод решения кубических уравнений

Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений Для корней кубического уравнения могут

иметь место следующие случаи

- три корня имеют одинаковые действительные значения

- три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X1 = g + h, то X2 = g – h или X1 = (g + h), то X2 = (g – h), Наличие множителя обусловлено численным значением коэффициента b при X для X3 + bX2 + cX + d = ( X – X1)∙( X2 + bX + c) = 0.

- один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X1 = g + ih, то X2 = g – ih.

Первый случай – тривиальный . (x – a )3 = x3 – 3ax2+3a2x – a3= 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.

Три разных действительных корня

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X – g1 ), то получим квадратное уравнение вида

 Скачать реферат