Новый метод решения кубического уравнения

[ X – (g2 + h)]∙[ X – (g2 - h)] = 0

-→ X2 – 2g2X + (g22 – h2) = 0

-→ X1 = g1, X2,3 = g2 ± h -→ X2 = ( g2 - h), X3 = ( g2 + h)

-→ (2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 ) + h

(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 ) – h

(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - h - g2 – h = - 2h

-→ D1 = - ( 2mn)12 &

#8729; ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = - [(g1 - g2 ) + h]2 ∙ [(g1 - g2 ) - h]2 ∙ [2h]2

-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 (3)

-→ D2 = - [ (2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ] = - [(g1 - g2 ) + h]2 + [(g1 - g2 ) - h]2 + 4h2

→ D2 = - [(g1 - g2 )2 + 2(g1 - g2 )∙ h + h2 + (g1 - g2 )2 - 2(g1 - g2 )∙ h + h2 + 4h2]

→ D2 = - [ 2(g1 - g2 )2 + 6h2] = - 2[(g1 - g2 )2 +3h2] (8)

На основании формул системы mn параметров имеем

D1 = - (4)

D2 = - 2( 3c - b2 ), (5)

где b,c,d- коэффициенты исходного кубического уравнения.

Три действительных корня и два одинаковых

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два равных действительных корня. Тогда имеем h =0 и (2mn)I = 0

При (2mn)I = 0 на основании уравнения (1) будем иметь

3x2 + 2bx +с = 0 (6)

→ X2 = ( g2 - h), X3 = ( g2 + h) → X2 = X3 = g2

→ (2mn)1 = ( X1 - X2 ) = (g1 - g2 )

(2mn)2 = ( X1 - X3 ) = (g1 - g2 )

(2mn)3 = ( X2 - X3 ) = g2 - g2 = 0

→ D1 = - ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = 0

→ D2 = - [ (2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ] = - [ (2mn)12 + (2mn)22 ]

→ D2 = 2 (2mn)12 = 2 (g1 - g2 )2 = - 2( 3c – b2 ) = 2( b2 – 3c )

→ (g1 - g2 )2 = ( b2 - 3c )

На основании свойств корней исходного уравнения можно записать - b = X1 + 2X2

→ g1 + 2g2 = - b

Решая систему из двух уравнений будем иметь g2 = -

→ X11,12 = g11,12 = [ - b ± ]

→ X21,22 = g21,22 = [ - b ± ]

Расчет закончен !

Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 41x2 + 475x – 1083 = 0

гдеa =1, b = - 41, c = 475, d = - 1083

1. X11,12 = g11,12 = [ - b ± ] → X11,12 = [ 41 ± ] = [ 41 ± ]

→ X11 = , X1 = 3

X21,22 = g21,22 = [ - b ± ] → g21,22 = [ 41 ± ]= [ 41 ± ]

→ X21 = 19, X22 = → X2 = X3 = 19

Расчет закончен !

Вывод основных формул

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D1 = -

2. Разделим

3. Представляем число в виде произведения двух квадратов = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ h2.

4. Меньший множитель принимаем за h2 → [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 =

→ (g1 - g2 ) = (6)

5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - h + g2 +h )

→ b = - ( g1 + 2g2 ) (7)

6. Решая систему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим

X1 = g1 = - b )

→ X11 = g11 = - b ) (8)

→ X12 = g12 = - b ) (9)

Таким образом получили значение одного из корней исходного уравнения.

7.→ g2 = -

→ g21 = -

→ g22 = -

8. Определяем два остальных корня

X21 = g21 + h

X22 = g22 + h

X31 = g21 – h

X32 = g22 – h

Этими формулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этих вариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.

 Скачать реферат