Новый метод решения кубического уравнения

Задача решена!

Пример 8 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 33x2 + 311x – 663 = 0

гдеa =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = - [- 15185664 +6718464 ]/

27=313600

-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 313600 = 4∙42∙72∙102 = 4∙402∙72 = 4∙702∙42 = 4∙282∙102

313600 = 4∙1402∙22 = 4∙72∙402 = 4∙52∙562

-→ = 402∙72 = 702∙42 = 282∙102 = 1402∙22 =52∙562

2. Пусть h12= 72

→ X1 = g11 = - b ) = - b) =

→ g11 = X11 = 13, X12 = 9.

→ g21 = - = - = 10

→ X2,3 = g21 + h1 = 10 ± 7 → X2 = 17, X3 = 3

Задача решена!

Неприводимый случай формулы Кардана

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X1 = g1) и два мнимых сопряженных корня

X2 = ( g2 - ih), X3 = ( g2 + ih).

-→ (2mn)1 = ( X1 - X2) = (g1 - g2 ) +ih

(2mn)2 = ( X1 - X3) = (g1 - g2 ) – ih

(2mn)3 = ( X2 - X3) = g2 - ih - g2 – ih = - 2ih

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0 . Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D1 = -

2. Разделим

3. Представляем число в виде произведения двух квадратов = [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 ∙ h2.

4. Меньший множитель принимаем за h2 → [(g1 - g2 )2 + h2 ]2 =

→ (g1 - g2 ) =

5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = - (X1 + X2 + X3 ) → b = - (g1 + g2 - ih + g2 + ih )

→ b = - ( g1 + 2g2 )

6. X1 = g1 = - b )

→ X11 = g11 = - b )

→ X12 = g12 = - b )

7.→ g2 = -

→ g21 = -

→ g22 = -

8. Определяем два остальных корня

X21 = g21 + h

X22 = g22 + h

X31 = g21 – h

X32 = g22 – h

Пример 9 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 6x2 + 58x – 200 = 0

гдеa =1, b = - 6, c = 58, d = - 200

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(174 – 36)3+(- 432 + 3132 – 5400)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344

-→ D1 = [(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 659344 = 4∙22∙72∙292 = 4∙142∙292 = 4∙72∙582 = 4∙22∙2032

-→ = 2032∙22 = 582∙72 = 292∙142

Пусть h12= 72

→ X1 = g11 = - b ) = + 6) = = 4

→ X1 = 4

→ g21 = - = - = 1

→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 7i → X2 = 1 - 7i, X3 = 1 + 7i

Задачарешена!

Пример 10 Дано уравнение

x3 - 6x2 + 21x – 52 = 0

где a =1, b = - 6, c = 21, d = - 52

Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

Решение

1. Определяем значение D1 = -

-→D1 = - [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = - [ 78732 + 492804 ]/27= 21168

→ D1 =[(g1 - g2 )2 - h2 ]2 ∙ 4h2 = 21168 = 4∙22∙72 ∙ = 4∙142∙ = 4∙

→ D1 =

Пусть h12=

→ X1 = g11 = - b ) = + 6) = = 4

 Скачать реферат